计算生成相同二叉搜索树的给定数组的排列

简介

二叉搜索树（Binary Search Tree，简称BST）是一种常用的数据结构，它的左子树上的所有节点均小于该节点，右子树上的所有节点均大于该节点。给定一个数组，我们可以根据它构造出多种不同形态的BST。本文的主要目的是计算生成相同二叉搜索树的给定数组的排列。

问题分析

• 在BST中，根节点的右子树中所有节点的值都大于根节点的值，左子树同理。
• 因此，当根节点值已固定时，数组中的元素可以分为两部分，一部分比根节点小，一部分比根节点大。
• 为了生成相同的BST，必须保证这两部分中的元素可以按照相同的原则划分，也就是说，这两部分中的元素应该是相同的排列。
• 所以我们可以采用递归的分治方法，分别计算左子树和右子树中所有元素相同的排列，并将其组合成符合条件的解。

算法实现

def generateTrees(n):
    if n == 0:
        return []
    return generateSubtrees(1, n)

def generateSubtrees(start, end):
    if start > end:
        return [None]
    res = []
    for i in range(start, end + 1):
        leftTrees = generateSubtrees(start, i - 1)
        rightTrees = generateSubtrees(i + 1, end)
        for left in leftTrees:
            for right in rightTrees:
                root = TreeNode(i)
                root.left = left
                root.right = right
                res.append(root)
    return res

算法分析

• 时间复杂度为$O(n^2)$，因为内部递归调用了$generateSubtrees$。
• 空间复杂度为$O(n)$，因为存储了所有的二叉搜索树节点。
• 因为是树上递归，不同排列的某些部分可能会出现相同的情况，这样会导致冗余计算，不过这只是少量的损失。

参考

• leetcode - Unique Binary Search Trees II