计算生成相同二叉搜索树（BST）的给定数组的排列

简介

给定一个数组，如何计算所有排列的二叉搜索树（BST）结构相同。例如，对于数组 [2,4,1] 和 [2,1,4]，它们具有相同的 BST 结构。

问题分析

假设有数组 arr[]，我们需要计算出所有排列，这些排列在 BST 结构上是相同的。首先要明确的是，对于一个 BST，它的中序遍历序列是唯一的。因此，如果两个排列的中序遍历序列相同，则它们的 BST 结构也相同。

我们可以递归地计算所有排列，并比较它们的中序遍历序列。如果它们相同，则它们的 BST 结构相同。

解法

步骤

1. 构建 BST 并计算中序遍历序列。

   首先，我们需要实现一个 BST 的构建函数，并定义一个函数来计算 BST 的中序遍历序列。函数的输入是数组和数组的起始和结束索引。构建 BST 的方法是，选择数组的中间元素作为根节点，递归地构建左子树和右子树。中序遍历的顺序是，先访问左子树，然后访问根节点，最后访问右子树。

   struct TreeNode {
       int val;
       TreeNode* left;
       TreeNode* right;
       TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
   };
   
   TreeNode* buildBST(vector<int>& arr, int start, int end) {
       if (start > end) return nullptr;
       int mid = start + (end - start) / 2;
       TreeNode* root = new TreeNode(arr[mid]);
       root->left = buildBST(arr, start, mid - 1);
       root->right = buildBST(arr, mid + 1, end);
       return root;
   }
   
   void inorder(TreeNode* root, vector<int>& res) {
       if (!root) return;
       inorder(root->left, res);
       res.push_back(root->val);
       inorder(root->right, res);
   }
   

2. 递归计算所有排列。

   我们可以使用 STL 的 next_permutation 函数来计算数组的所有排列。对于每一个排列，我们构建一个 BST 并计算它的中序遍历序列。然后，将中序遍历序列与之前的排列进行比较，如果相同，则它们的 BST 结构也相同。

   bool sameBST(vector<int>& arr1, vector<int>& arr2) {
       if (arr1.size() != arr2.size()) return false;
       for (int i = 0; i < arr1.size(); ++i) {
           if (arr1[i] != arr2[i]) return false;
       }
       return true;
   }
   
   bool sameBSTPermutation(vector<int>& arr) {
       sort(arr.begin(), arr.end());
       vector<int> original;
       inorder(buildBST(arr, 0, arr.size() - 1), original);
       do {
           vector<int> perm;
           inorder(buildBST(arr, 0, arr.size() - 1), perm);
           if (!sameBST(original, perm)) return false;
       } while (next_permutation(arr.begin(), arr.end()));
       return true;
   }
   

复杂度

时间复杂度是 O(n^3 log n)，其中 n 是数组的长度。准确地说，递归地构建 BST 的时间复杂度是 O(n log n)，计算中序遍历序列的时间复杂度是 O(n)，计算排列的时间复杂度是 O(n!)。在计算中序遍历序列时，我们需要遍历每个节点一次。在计算排列时，我们需要枚举每个元素在当前位置的可选取值，即与数组长度相同的 O(n) 次操作。

空间复杂度是 O(n log n)，用于存储递归调用堆栈上的空间。每次递归调用需要 n log n 的空间，因为每层递归调用中复制一份数组。同时，当遍历 BST 时，也需要 n 的空间来存储中序遍历序列。总的空间复杂度是 O(n log n)。

总结

本文介绍了如何计算所有排列的 BST 结构相同的问题。我们给出了一个递归的解法，首先构建 BST 并计算中序遍历序列，然后递归计算所有排列并逐一比较它们的中序遍历序列。该算法的时间复杂度为 O(n^3 log n)，空间复杂度为 O(n log n)。