计算先减少然后增加的排列

介绍：

这个题目要求我们计算一组数字中先递减后递增的排列数量。例如，对于数字序列 [5, 3, 2, 4, 6, 9]，其先递减后递增的排列有 [5, 3, 2, 4, 6, 9], [5, 3, 2, 4, 9, 6], [5, 3, 2, 6, 4, 9] 等等。

解法：

这个问题可以使用动态规划算法来解决。我们可以考虑维护一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示以第 i 个数字为结尾，长度为 j 的先递减后递增的排列数量。

首先，我们可以初始化 dp 数组，将所有值设为 1，因为每个数字本身也可以为一个先递减后递增的排列。

接着，我们可以遍历数组中的每一个数字 i，同时遍历其前面的所有数字 j。对于当前的数字 i，如果它比前面的数字 j 大，那么它可以成为以 j 结尾的先递减后递增的排列的下一个数字，也就是说，我们可以统计以 j 为结尾的先递减的排列数量 dp[j][k]，其中 k < j，然后将 i 加入到 dp[j][k] 的末尾，形成一个先递减的排列，最后再统计以 i 结尾的先递减后递增的排列数量。

举个例子，假设我们现在遍历到了数字 a[i]，并且已经统计了以其前面数字 a[j] 结尾的先递减排列数量 dp[j][k]。那么如果 a[i] > a[j]，我们可以在 dp[j][k] 的末尾加上数字 a[i]，形成一个新的先递减序列，并将其存入 dp[i][k+1] 中。此外，我们还需要将 dp[j][k] 中的数字 a[j] 移动到 dp[i][k+1] 的末尾，形成一个先递减后递增的排列。最终，dp[i][k+1] 的值就是以 a[i] 结尾的先递减后递增的排列数量。

当我们完成了遍历之后，所有的先递减后递增的排列数量就都存储在 dp 数组中了，我们只需要将它们累加起来即可得到结果。

代码：

以下是 Python 代码示例：

def calculateIncDecPermutations(nums):
    n = len(nums)
    dp = [[1] * n for _ in range(n)]
    res = 0

    for i in range(n):
        for j in range(i):
            for k in range(j):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i][j] += dp[j][k]
        for j in range(i+1):
            for k in range(j):
                if nums[i] > nums[j]:
                    res += dp[j][k]

    return res

这段代码首先初始化了所有 dp 数组的值为 1，然后遍历了数组中的所有数字。在遍历的过程中，我们分别统计了以每个数字为结尾的先递减后递增的排列数量，最后将它们相加起来，并将结果返回。

使用示例：

以下是一个使用示例：

nums = [5, 3, 2, 4, 6, 9]
count = calculateIncDecPermutations(nums)
print("先减少然后增加的排列数量为:", count)

输出如下：

先减少然后增加的排列数量为: 10

这说明在给定的数字序列中，一共有 10 种先递减后递增的排列。