计算先减少然后增加的排列

这种排列通常称为山形排列或峰形排列，即在排列中存在一段递减序列，后面的序列为递增序列。比如，当$n=4$时，先减少然后增加的排列有：

4 3 2 1
4 3 1 2
4 2 3 1
4 2 1 3
4 1 3 2
4 1 2 3

思路

我们可以把山形排列拆成两个部分，第一部分是一个递减序列，第二部分是一个递增序列。我们可以从排列的最大值开始，找到递减序列和递增序列的边界，然后将其拆分成两个新的排列，继续递归求解。具体来说，算法的框架如下：

1. 定义一个递归函数，输入参数为数组$nums$和两个整数$l$和$r$，表示在位置$l$到$r$上的元素能够组成的山形排列集合，输出结果为一个二维数组$ans$，表示由$l$到$r$组成山形排列的集合。
2. 如果$l=r$，那么直接返回一个包含唯一元素$[nums[l]]$的列表。
3. 否则，我们先找到数组$nums$中的最大值$max$，并记录其位置$pos$。
4. 对于$pos$之前的部分，我们递归求出其可以组成的山形排列集合$s1$。
5. 对于$pos$之后的部分，我们递归求出其可以组成的山形排列集合$s2$。
6. 然后，我们按照两个排列的长度，分别计算它们的笛卡尔积，得到新的山形排列集合$s$。具体来说，对于每个组合$(p,q)$，将$p$和$q$连接成一个新的排列。
7. 最后，将$s$作为结果返回。

代码实现

def mountain_permute(nums, l, r):
    if l == r:
        return [[nums[l]]]
    
    max_value = max(nums[l:r+1])
    pos = nums.index(max_value)
    
    s1 = mountain_permute(nums, l, pos-1)
    s2 = mountain_permute(nums, pos+1, r)
    
    ans = []
    for p in s1:
        for q in s2:
            if p[-1] > q[0]:
                continue
            ans.append(p+q)
    return ans

测试样例

我们可以通过以下测试样例来测试代码的正确性：

assert mountain_permute([1, 2, 3, 4], 0, 3) == [[4, 3, 2, 1], [4, 3, 1, 2], [4, 2, 3, 1], [4, 2, 1, 3], [4, 1, 3, 2], [4, 1, 2, 3]]
assert mountain_permute([1, 2, 3], 0, 2) == [[3, 2, 1], [3, 1, 2]]