计算平方根的 Bakhshali 逼近

简介

Bakhshali 逼近是一种用于计算平方根的方法，据称最早由印度人 Bakhshali 发现。这个方法在计算平方根时快速而准确，是现代计算机科学中常用的算法之一。

算法原理

Bakhshali 逼近的原理是利用牛顿迭代法来计算平方根。具体地说，假设要计算的数为 $x$，我们先猜测一个值 $y$，然后通过如下公式不断迭代直到收敛：

$$ y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(y_n+\frac{x}{y_n}\right) $$

在 $y_n$ 足够接近 $\sqrt{x}$ 时，迭代将收敛于 $\sqrt{x}$。这个方法比起暴力枚举的方法要快很多。

代码实现

下面是 Python 实现 Bakhshali 逼近算法的代码片段：

def bakhshali(x):
    y = x
    e = 1e-14  # 精度设为 10^-14
    while True:
        y_next = 0.5 * (y + x / y)
        if abs(y_next - y) < e:
            break
        y = y_next
    return y

代码中，我们先初始化 $y=x$，然后设定一个精度 $e$，以确保结果足够准确。然后我们循环迭代，直到新的迭代结果与旧的结果的差小于精度 $e$，表示已经收敛。最后返回结果即可。

总结

Bakhshali 逼近是一种快速计算平方根的算法，可以通过牛顿迭代法在 $O(\log n)$ 的时间内得到一个很准确的近似值。对于一些需要频繁计算平方根的问题，例如计算机视觉中的图像处理，这个算法具有很好的应用价值。