仅包含给定值 K 的子集计数

在一个给定的集合中，计算仅包含给定值 K 的所有子集的数量是一种常见的问题。这个问题可以使用多种方法来解决，以下是其中两种流行的解决方法。

方法一：组合数学

使用组合数学计算仅包含给定值 K 的子集数量步骤如下：

1. 确定集合的大小为 N，以及要计算的值 K
2. 确定包含给定值 K 的子集的大小为 M，其中 M 从 0 到 N
3. 针对每个 M 值，计算组合数 C（N，M），即从大小为 N 的集合中选择 M 个元素的组合数。
4. 对步骤3中计算的所有组合数求和，即得到所有包含 K 的子集数量。

代码示例：

import math

def count_subsets(N, K):
    count = 0
    for M in range(N+1):
        count += math.comb(N,M) * (K**M) * ((1-K)**(N-M))
    return count

方法二：位运算

另一个解决方法是使用位运算，它可以用于处理大小不超过 64 的集合。这种方法取决于集合的二进制表示，具体步骤如下：

1. 将集合的元素依次转换为二进制形式，如果元素等于 K，则对应位的值为 1，否则为 0。例如，对于集合 {4, 5, 7} 和 K=5，其二进制表示为 110010。
2. 对于二进制表示，计算其中值为 1 的位数，即为包含 K 的子集的大小。
3. 根据二进制表示中值为 1 的位数计算子集数量。具体方法是将值为 1 的位数设为 M，则子集的数量为 2^M-1，其中 -1 是因为空集除外。

代码示例：

def count_subsets(N, K):
    count = 0
    binary_k = bin(K)[2:]
    for i in range(1,2**len(binary_k)):
        if bin(i).count('1') != binary_k.count('1'):
            continue
        subset = int(binary_k.zfill(N)[-i:],2)
        if subset == K:
            count += 1
    return count

以上是两种方法来计算仅包含给定值 K 的所有子集的数量。如果需要处理大于 64 个元素的集合，组合数学方法是更可靠的选择。