最大化任何一对数组元素之间的乘积和差异的总和

问题描述

给定一个整数数组，需要找到任何一对数组元素，并找到它们之间的乘积和差异的总和的最大值。

具体地，设给定的整数数组为 $nums$，则需要找到一个二元组 $(i,j)$，满足 $1\leq i,j\leq \left| nums \right|$，并且 $i\neq j$，然后计算 $nums[i]\times nums[j]+ \left| nums[i]-nums[j] \right|$，最终需要找到所有这样的二元组中上述值的最大值。

解决方案

为了解决这个问题，可以利用以下两个事实：

1. 对于任何 $a,b,c$，都有 $a\times b-a\times c=a\times(b-c)$。

2. 如果 $a$、$b$ 为正整数，则 $(a+b)\times(a-b)=a^2-b^2$。

结合以上两个事实，我们可以将问题作如下转化：对于给定的整数数组 $nums$，不求二元组 $(i,j)$ 的乘积和差异的总和，而是求出在 $nums$ 中选取两个数 $a,b$，并且 $1\leq a,b\leq \left| nums \right|$ 且 $a\neq b$ 的情况下，满足 $(a+b)\times(a-b)$ 最大的值。

对于这个新问题，可以利用以下铺垫：

• 预处理所有 $nums$ 中的相邻两个数的差的绝对值，以便后续快速计算任意两个数之间的差的绝对值。

• 预处理一个数组 $max_left$，其中 $max_left[j]$ 表示从 $nums[1]$ 到 $nums[j]$ 中的最大值。

• 预处理一个数组 $max_right$，其中 $max_right[j]$ 表示从 $nums[j]$ 到 $nums[\left| nums \right|]$ 中的最大值。

• 对于每个 $nums[i]$，计算 $(nums[i]+max_left[i-1])\times(nums[i]-max_left[i-1])$ 和 $(nums[i]+max_right[i+1])\times(nums[i]-max_right[i+1])$，然后取两者中的较大值即可。

具体实现可以参考下面的代码片段：

def max_product_diff_sum(nums):
    n = len(nums)
    max_left = [0] * n
    max_right = [0] * n
    result = float("-inf")

    # 预处理 max_left 和 max_right
    max_left[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        max_left[i] = max(nums[i], max_left[i-1])
    max_right[-1] = nums[-1]
    for i in range(n-2, -1, -1):
        max_right[i] = max(nums[i], max_right[i+1])

    # 计算每个 num 的 (num+a)*(num-a) 最大值并更新结果
    for i in range(n):
        left_max = (nums[i]+max_left[i-1]) * abs(nums[i]-max_left[i-1])
        right_max = (nums[i]+max_right[i+1]) * abs(nums[i]-max_right[i+1])
        result = max(result, left_max, right_max)
    return result

总结

本文介绍了如何解决最大化任何一对数组元素之间的乘积和差异的总和问题，提出了一种利用差的绝对值和 $(a+b)\times(a-b)$ 的性质将原问题转化为新问题的方式，并给出了具体实现。该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是数组长度。