Z算法

Z算法是一种字符串匹配算法，可以在线性时间内（O(n+m)）搜索一个模式字符串是否在文本字符串中出现。其核心思想是利用已经匹配的前缀和后缀的部分匹配来避免重复比较。

算法实现

下面是Z算法的Python实现：

def z_algorithm(s: str) -> List[int]:
    n = len(s)
    z = [0] * n
    z[0] = n
    l, r = 0, 0
    for i in range(1, n):
        if i > r:
            l, r = i, i
            while r < n and s[r-l] == s[r]:
                r += 1
            z[i] = r-l
            r -= 1
        else:
            k = i-l
            if z[k] < r-i+1:
                z[i] = z[k]
            else:
                l = i
                while r < n and s[r-l] == s[r]:
                    r += 1
                z[i] = r-l
                r -= 1
    return z

算法解释

Z数组的定义是：对于字符串s，以s[i]为起始字符的子串和s的最长公共前缀长度为Z[i]。即Z[i]表示以i为起始位置的后缀与整个字符串的最长公共前缀长度。

在算法实现中，我们用l和r维护当前匹配中最大的区间[l, r]，也就是说，当前已知的以i为起点的最长后缀与原串的最长公共前缀，一定在[l, r]区间内。根据这一信息，可以分类讨论：

• 如果i > r，即i不在[l, r]之中，则暴力匹配以i为起点的后缀和整个字符串，直到匹配失败。

• 如果i <= r，即i在[l, r]之中，则考虑i的对称点k，即s[k] = s[r-i+l]。如果Z[k] < r-i+1，由于s[k]和s[i:]前面的字符都匹配到了Z[k]，所以Z[i] = Z[k]。否则，直接按照上文所说的暴力匹配求解Z[i]。

算法应用

Z算法可以用于字符串匹配问题，例如在一段长文本中查找一个子串是否存在。也可以用于字符串处理问题，例如最长重复子串问题、最长回文子串问题等。

算法优化

Z算法在实际应用中可能会时间复杂度仍然很高，因为其匹配过程中仍然需要不断暴力匹配字符。因此，很多可以优化的地方，例如使用哈希等技术对匹配段的快速匹配，对已经匹配的字符串进行预处理等等。