使用 O(1) 额外空间和 O(NlogN + MlogM) 有效合并两个排序数组

在程序中，经常需要合并两个排序数组，通常的做法是创建一个新的数组，然后将两个数组中的元素逐个比较，按顺序插入到新数组中。这个做法需要额外的空间，以及 O(N+M) 的时间复杂度。但是如果我们有一个空间复杂度为 O(1) 的限制，我们该如何合并两个排序数组呢？

下面介绍一种时间复杂度为 O(NlogN + MlogM)，空间复杂度为 O(1) 的合并算法。

算法思路

假设有两个排序数组 A 和 B，分别为：

A: [a1, a2, a3, ..., am]
B: [b1, b2, b3, ..., bn]

我们要把它们合并成一个排好序的数组 C。

首先我们需要确定 C 的长度，这个很容易算出来，即 m+n。接下来，我们就需要在这个长度为 m+n 的数组 C 上进行操作。

考虑归并排序的过程，我们可以从 A 和 B 的末尾开始，将 A 和 B 中最大的元素一个一个地取出来比较，然后插入到 C 数组的末尾。在插入过程中，我们需要避免将 A 和 B 中已经比较过的元素再次插入到 C 数组中，这个可以通过设置两个指针来实现。具体地，我们设置指针 pa 和 pb，分别指向 A 和 B 的末尾。然后我们用 C 数组的末尾位置 pc 来表示当前要插入元素的位置。然后循环执行以下步骤：

1. 如果 A[pa]>B[pb]，则将 A[pa] 插入到 C[pc]，并将指针 pa 减 1。
2. 如果 A[pa]<=B[pb]，则将 B[pb] 插入到 C[pc]，并将指针 pb 减 1。
3. 如果 pa 或 pb 小于 0，则将另一个数组中剩余的元素依次插入到 C 数组。

最后，我们得到的 C 数组就是排好序的，且不需要额外的空间。

代码示例

void merge(int* A, int m, int* B, int n) {
    int pa = m - 1; // 指向 A 的末尾
    int pb = n - 1; // 指向 B 的末尾
    int pc = m + n - 1; // 指向 C 的末尾

    while (pa >= 0 && pb >= 0) {
        if (A[pa] > B[pb]) {
            A[pc] = A[pa];
            pa--;
        } else {
            A[pc] = B[pb];
            pb--;
        }
        pc--;
    }

    // 插入剩余元素
    while (pa >= 0) {
        A[pc] = A[pa];
        pa--;
        pc--;
    }

    while (pb >= 0) {
        A[pc] = B[pb];
        pb--;
        pc--;
    }
}

该函数接收两个指针 A 和 B，分别指向两个排序数组的开始位置，以及两个数组的长度 m 和 n。函数中的操作都是基于指针的，因此没有使用额外的空间。

总结

本文介绍了一种时间复杂度为 O(NlogN + MlogM)，空间复杂度为 O(1) 的合并算法。该算法基于归并排序的思想，使用两个指针进行操作，可以避免使用额外的空间。