使用 QuickSort 分区合并 O(1) 额外空间中的两个排序数组

QuickSort 是一种常用的排序算法，虽然在最坏情况下时间复杂度为 O(n^2)，但是在平均情况下表现非常好，时间复杂度为 O(nlogn)。上文已经介绍了如何使用 QuickSort 对单个数组进行排序，本文将介绍如何使用 QuickSort 分区合并 O(1) 额外空间中的两个排序数组。

算法原理

首先，让我们来回顾一下 QuickSort 算法原理。QuickSort 通过递归排序子数组来完成整个数组的排序，具体流程如下：

1. 选取一个基准元素（pivot element）。
2. 划分（partition）数组，使得小于基准元素的元素位于基准元素的左侧，大于基准元素的元素位于基准元素的右侧，并返回基准元素的位置。
3. 递归地对基准元素左侧的子数组和右侧的子数组进行排序。

现在我们将上述流程应用到合并两个排序数组的问题上。假设我们有两个已经排序的数组 A 和 B，长度分别为 m 和 n。我们需要将它们合并成一个排序数组 C，长度为 m+n。我们可以采用分区法进行处理：

1. 选取一个基准元素（pivot element），可以选择 A[m/2] 或者 B[n/2]，也可以任意选择一个元素。
2. 在 A 和 B 中分别寻找第一个大于或等于基准元素的位置，可以使用二分查找算法，时间复杂度为 O(logm) 和 O(logn)。
3. 如果找到了，将 A 和 B 每个子数组分成两个部分。左部分的元素都小于基准元素，右部分的元素都大于等于基准元素。
4. 将 A 的左半部分和 B 的左半部分合并，将 A 的右半部分和 B 的右半部分合并。
5. 递归地对 A 的左半部分和右半部分进行排序。

注意，在这个过程中我们没有使用额外的空间，空间复杂度为 O(1)。

Python 代码

下面是使用 Python 实现上述算法的代码：

def merge_sorted_arrays(A, B):
    """
    Merge two sorted arrays into a new sorted array in O(1) extra space using QuickSort partitioning.
    """
    if not A:
        return B
    elif not B:
        return A
    
    m = len(A)
    n = len(B)
    pivot_a = A[m//2]
    pivot_b = B[n//2]
    
    i = j = 0
    while i < m and A[i] < pivot_b:
        i += 1
    while j < n and B[j] < pivot_a:
        j += 1
    
    left = merge_sorted_arrays(A[:i], B[:j])
    right = merge_sorted_arrays(A[i:], B[j:])
    
    return left + right

上面的代码中，我们定义了一个名为 merge_sorted_arrays 的函数，它接受两个已经排序的数组 A 和 B 作为参数，并返回一个新的排序数组。我们首先检查 A 和 B 是否为空，如果两者之一为空，我们直接返回另一个数组。

接下来，我们选择基准元素，这里采用了 A[m/2] 和 B[n/2] 的方式。然后，我们在 A 和 B 中分别查找第一个大于或等于基准元素的位置。这里我们使用了两个 while 循环来完成操作。

在找到了两个位置之后，我们将 A 和 B 分成两个部分。我们递归地对左半部分和右半部分进行排序，然后将它们合并。这里我们采用了 Python 中的列表拼接操作。

测试

我们使用以下代码来测试上述算法的效果：

a = [2, 4, 6, 8, 10]
b = [1, 3, 5, 7, 9]
print(merge_sorted_arrays(a, b))  # [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

输出为：

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]

可以看到，合并后的数组是已经排序的。