将数组拆分为K个长度的子集，以最小化每个子集的第二个最小元素的总和

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 K，您需要将它分成 K 个子数组，使得每个子数组的第二小元素的总和最小。 返回您可以获得的这个最小总和。

解决方案

这是一个组合优化问题，可以使用贪心+搜索来解决。

首先对数组 nums 进行排序，然后统计所有元素出现次数。接下来，我们将数组从小到大遍历并将每个元素放到合适的组中。具体而言，对于每个元素，我们尝试将其添加到每个组，并为每个组选择添加该元素是否会获得最小的第二小元素之和。为了方便，我们可以维护每个组的第二小元素和当前元素出现次数之和。

倘若我们将该元素添加到组中，我们更新该组的第二小元素和添加数量并递归处理下一个元素。否则，我们将当前元素作为新组的第一个元素并递归处理下一个元素。

代码实现如下(使用 Python 语言)：

class Solution(object):
    def minimumIncompatibility(self, nums, k):
        """
        :type nums: List[int]
        :type k: int
        :rtype: int
        """
        n = len(nums)
        m = n // k
        counter = collections.Counter(nums)
        if max(counter.values()) > k:
            return -1

        nums.sort()

        @functools.lru_cache(None)
        def dfs(used, todo):
            if not todo:
                return 0

            min_sec_max_sum = float('inf')

            for i in range(k):
                group = used >> (i * m) & ((1 << m) - 1)
                if group:
                    cur_sec_max = float('-inf')
                    cur_sum = 0
                    for j in range(m):
                        if group & (1 << j):
                            cur_sum += todo[j]
                            if j > 0 and todo[j] == todo[j - 1]:
                                continue
                            cur_sec_max = max(cur_sec_max, todo[j])
                    if cur_sec_max > float('-inf'):
                        new_group = used ^ (group << (i * m))
                        for j in range(m):
                            if group & (1 << j):
                                new_group |= 1 << (i * m + j)
                        min_sec_max_sum = min(min_sec_max_sum, cur_sum + dfs(new_group, tuple(sorted(todo[j] for j in range(m) if not (group & (1 << j))))))

                else:
                    cur_num = float('-inf')
                    for j in range(m):
                        if not (used >> (i * m + j) & 1):
                            cur_num = max(cur_num, todo[j])
                    if cur_num > float('-inf'):
                        new_group = used | ((1 << m) - 1) << (i * m)
                        min_sec_max_sum = min(min_sec_max_sum, cur_num + dfs(new_group, tuple(sorted(todo[j] for j in range(m) if not (new_group >> (i * m + j) & 1)))))


            return min_sec_max_sum

        return dfs(0, tuple(counter.keys()))

时间复杂度

排序的时间复杂度为 $O(nlogn)$，每层的计算复杂度为 $O(k^m)$，由于最多有 $k^m$ 种情况，因此总体复杂度为 $ O(k^m * nlogn)$，其中 $m$ 是数组 $nums$ 的长度除以 $k$ 的结果。