要添加到树的最大边数，使其保持二分图

在图论中，二分图是一种特殊的图，其中所有节点可以分为两个独立的集合，每个集合内部之间不存在边。如果节点之间存在边，则这些边只能连接这两个集合中的节点。

要将一棵树转换为二分图，需要添加最少的边。具体地说，需要在树上添加的边数，就是将树转换为二分图的最大边数。

解决方案

要将一棵树转换为二分图，可以使用染色法。如果可以将所有节点分为两个集合，使得同一集合内的节点之间没有边，则树就是二分图。具体的操作如下：

1. 从根节点开始，给它染上颜色。
2. 遍历与该节点相邻的节点，将它们染上与该节点不同的颜色。
3. 对于每一个相邻节点，重复第2步，直到所有节点都被染色。

如果在染色的过程中，找到了任意一个相邻节点已经被染上了与当前节点相同的颜色，则说明无法将该树转换为二分图。否则，可以将树转换为二分图，且最大边数等于分别连接两个集合的边数。

具体的示例代码如下：

def dfs(node, color, graph, colors):
    colors[node] = color
    for neighbor in graph[node]:
        if colors[neighbor] == color:
            return False
        if colors[neighbor] == 0 and not dfs(neighbor, -color, graph, colors):
            return False
    return True

def max_edges_to_bipartite_tree(n, edges):
    graph = [[] for _ in range(n)]
    for u, v in edges:
        graph[u-1].append(v-1)
        graph[v-1].append(u-1)

    colors = [0] * n
    for i in range(n):
        if colors[i] == 0 and not dfs(i, 1, graph, colors):
            return -1

    num_of_colors = [colors.count(1), colors.count(-1)]
    return num_of_colors[0] * num_of_colors[1] - len(edges)

print(max_edges_to_bipartite_tree(5, [(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (1, 5)])) # 2

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是节点数。需要遍历所有节点并对每个节点进行染色。空间复杂度为 $O(n)$，需要使用一个数组记录节点颜色。