二分查找 Python

二分查找也称为折半查找，是一种高效的查找算法，它仅适用于有序的数据结构（如有序数组）。

原理

二分查找算法的原理是不断地将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或查找范围为空。

1. 确定左右边界，$left$ 和 $right$ 分别为查找范围的左边界和右边界；

2. 计算中点位置 $mid$，并将中点元素 $pivot$ 与目标元素 $target$ 进行比较；

3. 如果 $pivot$ 大于 $target$，则目标元素必然在左侧，将查找范围缩小到 $[left, mid - 1]$ 区间内；

4. 如果 $pivot$ 小于 $target$，则目标元素必然在右侧，将查找范围缩小到 $[mid + 1, right]$ 区间内；

5. 如果 $pivot$ 等于 $target$，则直接返回 mid。

6. 重复步骤 2 ~ 5 直到找到目标元素或查找范围为空。

下面是二分查找的示意图：

实现

以下是 Python 语言实现的二分查找程序：

def binary_search(arr, target):
    left, right = 0, len(arr) - 1
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return -1

上述程序接收两个参数：$arr$ 表示有序数组，$target$ 表示要查找的目标元素。

程序先确定数组的左右边界，然后根据中点位置 $mid$ 计算出 $pivot$ 的值，再根据 $pivot$ 和 $target$ 的大小关系缩小查找范围。

如果找到目标元素，则返回其下标；否则返回 $-1$。

时间复杂度

在一个有 n 个元素的数组中，二分查找最多需要执行 $log_2n$ 次。

因此，二分查找的时间复杂度可以表示为 $O(log_2n)$。

总结

二分查找是一种高效的查找算法，仅适用于有序的数据结构（如有序数组）。

Python 实现的二分查找程序可以使用 while 循环和递归两种方法实现。

二分查找的时间复杂度为 $O(log_2n)$，是一种快速有效的查找算法。