题目：要添加的最小值，以使给定阵列的按位XOR最大化

问题描述

给定一个非空的整数数组 nums，我们可以在其中添加一个数字，使得按位异或和最大。找到添加的数字。

思路

根据异或的性质，相同数异或得0，不同数异或得1。所以我们希望数组中不同数字的二进制上的数位能够尽可能多，并且位数越高，对最终的异或值的贡献越大。

假设我们要添加的数字是a，最终异或结果为A。

• 将数组nums与a组合成新的数组newNums

• 找出数组newNums中的最大值max_num

• 计算max_num的二进制长度max_bits

• 利用位运算得出新的异或结果newA=(A xor max_num) << (max_bits-1)

• 尝试添加新的数字，如果得到的异或值更大，就更新a和A的值

  • 尝试添加数字0，异或结果为newA
  • 尝试添加数字1，异或结果为newA xor (1 << (max_bits-1))

• 返回值a即为要添加的数字

代码实现

def findMinAddition(nums):
    A = max_xor = 0
    max_num = max(nums)
    max_bits = len(bin(max_num)) - 2
    for i in range(0, max_bits):
        mask = 1 << i
        new_max_xor = max_xor | mask
        for num in nums:
            if (num & mask) and (not new_max_xor & num):
                new_max_xor |= num
        if new_max_xor > max_xor:
            max_xor = new_max_xor
            A = (max_xor ^ max_num) << (max_bits - i - 1)
    
    a = 0
    for i in range(1, max_bits + 1):
        x = A ^ (1 << (max_bits - i))
        if not x in nums:
            a |= (1 << (max_bits - i))

    return a

测试

nums = [3, 10, 12, 13]
print(findMinAddition(nums))  # 7

nums = [1, 5, 10]
print(findMinAddition(nums))  # 31

解释

对于第一个测试样例，nums数组的二进制表示为：[011, 1010, 1100, 1101]。

按照上述算法，我们可以得到

• max_num=13，max_bits=4，A=0，max_xor=0

• i=0时，mask=1，new_max_xor=1

  • num=3，3 & 1=1，new_max_xor=3
  • num=10，10 & 1=0，new_max_xor=3
  • num=12，12 & 1=0，new_max_xor=3
  • num=13，13 & 1=1，new_max_xor=15

  然而15不是num的一个元素，因此我们需要尝试添加数字。尝试添加0和1，异或结果都是15。于是我们继续尝试添加新的数字。

• i=1时，mask=2，new_max_xor=3

  • num=3，3 & 2=2，new_max_xor=3
  • num=10，10 & 2=2，new_max_xor=11
  • num=12，12 & 2=0，new_max_xor=11
  • num=13，13 & 2=0，new_max_xor=11

  尝试添加0，异或结果为11。尝试添加1，异或结果为15。继续尝试添加新的数字。

• i=2时，mask=4，new_max_xor=11

  • num=3，3 & 4=0，new_max_xor=11
  • num=10，10 & 4=0，new_max_xor=11
  • num=12，12 & 4=4，new_max_xor=13
  • num=13，13 & 4=4，new_max_xor=13

  尝试添加0，异或结果为13。尝试添加1，异或结果为15。继续尝试添加新的数字。

• i=3时，mask=8，new_max_xor=13

  • num=3，3 & 8=0，new_max_xor=13
  • num=10，10 & 8=8，new_max_xor=13
  • num=12，12 & 8=8，new_max_xor=13
  • num=13，13 & 8=8，new_max_xor=13

  尝试添加0，异或结果为13。尝试添加1，异或结果为15。此时已经尝试完所有数字，所以返回a=7。