SymPy - Polyhedron.pgroup()

介绍

Polyhedron.pgroup() 是 SymPy 的 Polyhedron 模块中的一个方法。它返回 Polyhedron 对象的对称群。

使用方法

Polyhedron.pgroup() 方法可用于 Polyhedron 对象。例如，我们先创建一个简单的四面体 Polyhedron。

from sympy.geometry import Polygon, Point3D
from sympy import pi
from sympy.geometry.polyhedron import Polyhedron

p1 = Polygon(Point3D(0, 0, 0), Point3D(0, 1, 0), Point3D(1, 0, 0))
p2 = Polygon(Point3D(0, 0, 1), Point3D(1, 0, 0), Point3D(0, 1, 0))
p3 = Polygon(Point3D(0, 0, 1), Point3D(0, 1, 0), Point3D(1, 0, 0))
p4 = Polygon(Point3D(0, 0, 1), Point3D(1, 0, 0), Point3D(0, 0, 0))

tetrahedron = Polyhedron(p1, p2, p3, p4)

接下来，我们调用 Polyhedron.pgroup() 方法来获取 tetrahedron 的对称群。

from sympy import pi

pgroup = tetrahedron.pgroup()

对称群的属性

Polyhedron.pgroup() 方法返回一个 PolyhedronGroup 对象。PolyhedronGroup 对象具有以下属性：

transformations

SymPy 的 Transformation 对象列表，这些对象执行 tetrahedron 的所有对称变换。

pgroup.transformations

order

对称群中对称变换的数量。

pgroup.order

point_group_order

点群中对称变换的数量。

pgroup.point_group_order

is_isomorphic(other)

检查两个 PolyhedronGroup 对象之间是否同构。

pgroup.is_isomorphic(other_group)

示例

这里我们将演示一个使用 Polyhedron.pgroup() 方法的简单示例。我们将首先创建一个五边形棱柱体（pentagonal prism）Polyhedron，然后获取它的对称群。

from sympy.geometry import Polygon, Point3D
from sympy.geometry.polyhedron import Polyhedron

# 创建五边形
p1 = Polygon(Point3D(0, 0, 0), Point3D(2, 0, 0), Point3D(3, 1, 0), Point3D(2, 2, 0), Point3D(0, 2, 0))

# 创建五边形棱柱体
bottom_base = p1.translate(0, 0, 1)
top_base = p1.translate(0, 0, 3)

pent_prism = Polyhedron(bottom_base, top_base,
                        Polygon(bottom_base.vertices),
                        Polygon(top_base.vertices),
                        *[Polygon(p1.vertices[i], p1.vertices[i+1],
                                  top_base.vertices[i+1], top_base.vertices[i])
                          for i in range(4)] + [Polygon(p1.vertices[-1], p1.vertices[0],
                                                        top_base.vertices[0], top_base.vertices[-1])])
# 获取对称群
pgroup = pent_prism.pgroup()

我们可以检查 five_pentagon_prism 的对称群中是否存在恒等变换。

from sympy.geometry.entity import Transformation

Transformation() in pgroup.transformations

输出为 True，这意味着我们的 five_pentagon_prism 具有三维恒等对称。

我们还可以查看该对称群中对称变换的数量：

pgroup.order

输出为 20，即共有 20 种对称变换。

接下来，我们将使用 matplotlib 和 mpl_toolkits 库在三维空间中可视化该五边形棱柱体及其对称性。

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.set_xlim([-3, 5])
ax.set_ylim([-3, 5])
ax.set_zlim([0, 4])

# 绘制五边形棱柱体的所有顶点
xs, ys, zs = zip(*pent_prism.vertices)
ax.scatter(xs, ys, zs)

# 绘制 five_pentagon_prism 的所有面
for p in pent_prism.faces:
    x, y, z = zip(*p.vertices)
    ax.plot(x, y, z, 'r-', linewidth=2, alpha=0.7)

# 绘制五边形棱柱体的对称操作
for t in pgroup.transformations:
    tet = pent_prism.transform(t)
    for p in tet.faces:
        x, y, z = zip(*p.vertices)
        ax.plot(x, y, z, 'b-', alpha=0.4)

plt.show()

该示例可以帮助您了解如何使用 SymPy 的 Polyhedron.pgroup() 方法获取多面体对象的对称群，以及如何将该对称性可视化。