四面体中长度为N的不同循环路径的数量

在四面体中，长度为N的循环路径是指从某个点出发，经过N步回到该点的路径。如何计算长度为N的不同循环路径的数量呢？

数学推导

我们可以使用组合数学的知识进行推导。

对于一个长度为N的循环路径，我们可以将它分解成三个部分：

1. 从起点出发，到达某个中间点的路径；
2. 从中间点出发，经过若干步后到达另一个中间点的路径；
3. 从另一个中间点出发，经过若干步后回到起点的路径。

我们可以用$a,b,c$表示三个中间点，$x,y,z$表示从一个点出发到达中间点的路径长度，$N-x-y-z$表示从中间点出发回到起点的路径长度。则一个长度为N的循环路径可以表示为$(a,x,b,y,c,z,a,N-x-y-z)$。

若要计算长度为N的不同循环路径的数量，我们就要考虑：

1. 选择三个中间点的方案数；
2. 对于每个中间点，选择从起点到达它的路径长度和从它到另一个中间点的路径长度的方案数；
3. 由于是循环路径，我们只需考虑从中间点出发回到起点的路径的长度。

由于四面体是一个3-正多面体，它有4个顶点和6条边。如果我们固定一个顶点作为起点，那么就有3个顶点可以作为第一个中间点，2个顶点可以作为第二个中间点，而最后一个顶点只能作为第三个中间点。

对于每个中间点，从起点到达它的路径长度可以是1～(N-3)/3，其中(N-3)/3需要是整数。从它到另一个中间点的路径长度可以是1～(N-3-2x)/2，其中(N-3-2x)/2需要是整数。由于是循环路径，从中间点出发回到起点的路径长度可以由N-x-y-z得到。

因此，长度为N的不同循环路径的数量可以表示为：

$$ \begin{aligned} & \sum_{x=1}^{(N-3)/3} \sum_{y=1}^{(N-3-2x)/2} \binom{x+y}{x} \binom{N-x-y}{y} \binom{N-2x-2y-3}{1} \ & \times \sum_{z=1}^{(N-x-y)/2} \binom{N-x-y-z-1}{2x+2y+1} \binom{2x+2y+1}{x+y} \frac{(x+y+z)!}{x!y!z!} \end{aligned} $$

其中，$\binom{n}{k}$表示从n个元素中选择k个元素的方案数。

代码实现

下面给出Python代码实现该算法：

from math import comb

def count_cycle_paths(N):
    cnt = 0
    for x in range(1, (N - 3) // 3 + 1):
        for y in range(1, (N - 3 - 2 * x) // 2 + 1):
            # choose 3 intermediate vertices
            c = comb(3, 3)
            # choose path lengths from start to intermediate vertices
            c *= comb(x + y, x)
            c *= comb(N - x - y, y)
            # choose path lengths from intermediate vertices to start
            z = N - x - y
            c *= comb(z - 1, 2 * x + 2 * y + 1)
            c *= comb(x + y + 1, x + y)
            c *= comb(x + y + z, x)
            c //= x * y * z
            cnt += c
    return cnt

以上代码使用math.comb()函数计算组合数，时间复杂度为$O(N^2)$。

总结

本文介绍了如何计算四面体中长度为N的不同循环路径的数量。我们使用了组合数学的知识进行推导，并给出了Python代码实现。