相交线计数

相交线计数问题是指：在一个平面上，给定n条直线，求出有多少条线段是所有直线的交点。

题目描述

给定平面上n条直线，任意两条直线都不平行和重合。对于每一对不同的点pi和pj，求出在它们之间的线段中有多少条被这n条直线的交点覆盖。

解决方法

解决相交线计数问题有多种方法，下面将介绍其中两种比较常用的解法。

Brute Force

最朴素的方法是对于每对点pi, pj都检查其间的线段是否被交点覆盖。该方法的时间复杂度为$O(n^3)$，显然随着n的增大，计算量将变得非常大。

Sweep Line

另一种更加高效的方法是，先固定一条直线，然后枚举所有其他的直线，并计算与该直线的交点。在计算交点的同时，使用扫描线的思想，维护当前线段的端点，统计出线段的数量。该算法的时间复杂度为$O(n^2 logn)$。

程序实现

下面是使用Sweep Line算法实现的Python程序：

def intersection_count(lines):
    # 计算交点数量
    res = 0
    for i in range(len(lines)):
        # 构建初始sorted points list
        points = []
        for j in range(len(lines)):
            if i == j:
                continue
            if lines[i][0] == lines[j][0]:
                continue
            # 计算交点
            x = (lines[j][1] - lines[i][1]) / (lines[i][0] - lines[j][0])
            y = lines[i][0] * x + lines[i][1]
            # 添加到sorted points list
            points.append((x, y))
        points.sort()
        count = 0
        # 统计线段数量
        for j in range(len(points)):
            for k in range(j+1, len(points)):
                if points[j][1] < points[k][1]:
                    count += 1
        # 加到结果里面
        res += count
    return res

上述程序实现了Sweep Line算法。接受一个参数lines，该参数是一个二元组列表，每个二元组代表一条直线。第一个元素表示直线的斜率，第二个元素表示截距。程序输出所有线段的数量。

代码片段按markdown格式返回：

```python
def intersection_count(lines):
    # 计算交点数量
    res = 0
    for i in range(len(lines)):
        # 构建初始sorted points list
        points = []
        for j in range(len(lines)):
            if i == j:
                continue
            if lines[i][0] == lines[j][0]:
                continue
            # 计算交点
            x = (lines[j][1] - lines[i][1]) / (lines[i][0] - lines[j][0])
            y = lines[i][0] * x + lines[i][1]
            # 添加到sorted points list
            points.append((x, y))
        points.sort()
        count = 0
        # 统计线段数量
        for j in range(len(points)):
            for k in range(j+1, len(points)):
                if points[j][1] < points[k][1]:
                    count += 1
        # 加到结果里面
        res += count
    return res