没有相似的相邻字符的长度为N的不同排列的计数

问题描述：

给定一个长度为N的字符集，字符集中包含K个字符。求长度为N的字符串，满足相邻字符不相同的不同排列的个数。

解决思路：

暴力枚举

我们可以使用暴力方法来解决这个问题。即枚举长度为N的所有字符串，然后检查其是否符合条件。但是当N和K都比较大的时候，暴力枚举方法的时间复杂度将是指数级别的，因此这种方法并不是一个好的解决方案。

动态规划

我们可以使用动态规划（DP）算法来解决这个问题。假设dp[i][j]表示长度为i，末尾字符为j的不同排列的数量。因此，我们可以得到以下递推关系：

dp[1][j] = 1 // 长度为1时，只有1个字符，因此只有1种排列
dp[i][j] = sum(dp[i-1][k]) - dp[i-2][j] // 长度为i，末尾字符为j，不同排列的数量是前i-1个字符的所有排列减去以j为结尾，前i-2个字符中出现与末尾字符相同的个数

以上递推关系的含义如下：首先，长度为1时，只有一种不同排列，即为该字符本身。然后，对于长度为i的字符串，我们可以通过在长度为i-1的字符串末尾添加任意一个不同于前一个字符的字符来得到新的字符串。

然而，我们需要减去以j为结尾，前i-2个字符中出现与末尾字符相同的数量。因为如果前i-1个字符的末尾是与第i个字符相同的字符，那么新的字符串中就不会出现相邻相同的字符。但是，如果前i-2个字符的末尾是与第i个字符相同的字符，那么新的字符串中就会出现相邻相同的字符。因此，我们需要减去这个数量。

最终的答案就是sum(dp[n][j])。

代码实现：

def count_permutations(n, k):
    dp = [[0] * k for _ in range(n)]
    for j in range(k):
        dp[0][j] = 1
    for i in range(1, n):
        for j in range(k):
            dp[i][j] = sum(dp[i-1]) - dp[i-2][j]
    return sum(dp[n-1])

时间复杂度：

由于需要计算dp数组中的所有元素，因此时间复杂度为O(nk^2)。

空间复杂度：

由于需要保存所有dp数组中的元素，因此空间复杂度为O(nk)。

参考链接：

LeetCode 1220