通过仅交换不等字符获得的字符串的不同排列计数

在一些算法问题中，我们需要计算一个字符串通过仅交换其中的不同字符能够产生的不同排列数量。这个问题可以有多种解法，其中比较常见且有效率的解法是使用字母计数器和求组合数的方法来解决。

解法1：使用字母计数器

对于一个字符串，我们可以使用字母计数器来统计其中每个字符的出现次数。例如，对于字符串"abbccc"，我们可以用一个哈希表来表示计数器，其键为字符值，值为该字符出现的次数：

{
  'a': 1,
  'b': 2,
  'c': 3
}

接着，我们可以使用组合数的公式来计算所有不同排列的数量。具体来说，假设字符串中总共有$n$个字符，其中第$i$类字符有$m_i$个，则不同排列的数量为：

$$ \frac{n!}{\prod_{i=1}^k m_i!} $$

其中$k$为总共出现的不同字符的种类数。

这个公式的证明可以参考组合数的定义，即从$n$个元素中选择$m_i$个不同的元素的方案数。对于每一类字符，我们可以在其中选择$m_i$个来进行排列，因此对于所有不同排列，我们需要将每一类字符的排列数相乘即可。但是，对于每一类字符来说，其中的重复元素会导致相同的排列被重复计算，因此我们需要除以该类字符中所有元素的排列数$m_i!$。

下面是使用Python实现基于字母计数器和组合数公式的计算次数的代码：

from collections import Counter
import math

def count_permutations(s: str) -> int:
    counter = Counter(s)
    n = len(s)
    k = len(counter)
    return math.factorial(n) // math.prod(math.factorial(m) for m in counter.values())

解法2：使用等价类划分

另一个解决这个问题的方法是使用等价类划分。具体来说，我们将所有可以通过仅交换不同字符得到的字符串划分为等价类，每个等价类包含了所有互相可达的字符串。例如，在字符串"abc"中，等价类为：

{"abc"}
{"acb", "bac", "bca", "cab", "cba"}

其中第一个等价类包含了原始字符串，而第二个等价类则包含了所有通过字母交换得到的排列。我们可以使用深度优先搜索来遍历所有等价类，并对每个等价类仅计算一次。最终计算出总共有多少个等价类，即可得出所有不同排列的数量。

下面是使用Python实现基于等价类划分的计算次数的代码：

from typing import List

def count_permutations(s: str) -> int:
    n = len(s)
    visited = [False] * n
    equiv_classes = []

    def dfs(idx: int, equiv_class: List[int]):
        visited[idx] = True
        equiv_class.append(idx)
        for i in range(n):
            if not visited[i] and s[i] != s[idx]:
                dfs(i, equiv_class)

    for i in range(n):
        if not visited[i]:
            equiv_class = []
            dfs(i, equiv_class)
            equiv_classes.append(equiv_class)

    return len(equiv_classes)

注意，在实际使用中，解法1的复杂度要比解法2要小，因此通常情况下我们会更倾向使用解法1来解决问题。