计算按位与为零的长度为N的不同排列的个数

在计算机科学中，按位与为零的算法通常用于位向量压缩和哈希表操作。这里，我们考虑使用按位与为零算法来计算长度为N的不同排列的个数。

算法思路

我们使用动态规划算法来解决这个问题。另外，我们定义一个子问题 $f(k, m)$ 来表示长度为 k 时，以 $m$ 为结尾的排列个数。因为我们希望不同的排列，所以必须保证没有重复的数被使用。

根据题目要求，我们知道对于长度为 $k$ 的排列，其最后一位 $m$ 必须与之前所有位按位与结果均为 $0$。所以我们可以得到如下递推式：

$$f(k, m)= \sum_{i=1}^{2^k-1} [m \land (i&m)=0]f(k-1, i)$$

其中 $&$ 表示按位与操作。

代码实现

为了提高效率，我们可以使用位运算来计算按位与的结果。以下是实现该算法的代码片段：

def count_permutations(N: int) -> int:
    # 初始化二维列表
    f = [[0]*2**N for _ in range(N+1)]
    for i in range(1, 2**N):
        if i & (i-1) == 0:  # 判断i是否为2的幂次方
            f[1][i] = 1

    # DP递推计算
    for k in range(2, N+1):
        for m in range(1, 2**N):
            if m & (m-1) == 0:  # 判断m是否为2的幂次方
                for i in range(1, 2**k):
                    if m & (i & m) == 0:
                        f[k][m] += f[k-1][i]
    return sum(f[N])

算法分析

由于每个状态只与上一层的状态有关，所以时间复杂度为 $O(N2^{2N})$，空间复杂度为 $O(N2^{N})$，其中 $N$ 是排列的长度。这个算法的时间复杂度是相当高的，但是在 $N\leq 10$ 的情况下我们可以使用该算法进行计算。