门 | GATE 2017 MOCK II |问题14

本题是2017年GATE模拟考试中的第14个问题。该问题涉及到递归算法的实现，要求学生实现一个函数并计算其时间复杂度。以下将展示该函数的详细实现及时间复杂度分析。

问题描述

给定一个数组A和一个数字n，写一个递归函数判断数组A中是否存在两个元素之和等于n。函数签名如下：

bool TwoElemSum(int A[], int n, int sum);

其中，A是要进行查找的整数数组；n是数组中的数字个数；sum是要查找的数字之和。函数返回true或false。

解题思路

首先明确一点，如果使用暴力搜索，时间复杂度是O(n^2)，无法满足本题要求。因此，我们需要使用一种更加高效的查找方法。

我们可以考虑对原数组进行排序，然后使用双指针法进行查找。具体来说，我们设定两个指针i和j，i指向数组的第一个元素，j指向数组的最后一个元素。然后，每次比较A[i]+A[j]和sum的大小关系，如果A[i]+A[j]<sum，那么将i向后移动一位，反之，则将j向前移动一位。当i>=j时，就查找结束。

双指针法的时间复杂度是O(nlogn)，如果使用递归方式实现，时间复杂度为O(logn)。下面是递归函数的实现代码：

bool TwoElemSum(int A[], int n, int sum)
{
    // 如果数组中元素个数小于2，则不存在两个元素之和等于sum
    if (n < 2) {
        return false;
    }

    // 对数组进行排序
    std::sort(A, A+n);

    // 使用双指针法进行查找
    int i = 0;
    int j = n - 1;
    while (i < j) {
        int s = A[i] + A[j];
        if (s == sum) {
            return true;
        }
        else if (s < sum) {
            i++;
        }
        else {
            j--;
        }
    }

    // 如果找不到两个元素之和等于sum，则递归查找子数组
    if (TwoElemSum(A+1, n-1, sum) || TwoElemSum(A, n-1, sum)) {
        return true;
    }
    return false;
}

时间复杂度分析

该递归函数实现的时间复杂度为O(logn)。原因是，在每一次递归调用中，都对数组中的一半元素进行了查找。因此，递归深度最大为log2(n)，最坏情况下需要查找log2(n)次。每次查找需要O(nlogn)的时间复杂度，因此总时间复杂度为O(nlog^2n)。

结论

本文介绍了一个递归算法的实现，其主要目的是判断一个整数数组中是否存在两个元素之和等于指定数字的问题。该算法使用双指针法进行查找，并且时间复杂度为O(logn)。我们希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解递归算法的实现和时间复杂度分析的基本原理。