子数组XOR相等的数组中的三元组数

问题描述

给定一个非空整数数组，计算其中有多少个三元组满足以下条件：

• 0 <= i < j < k < n
• arr[i] ^ arr[i + 1] ^ ... ^ arr[j - 1] ^ arr[j] ^ arr[j + 1] ^ ... ^ arr[k - 1] ^ arr[k] == 0

其中 "^" 表示按位异或运算。

解决方案

方案一：暴力法

可以通过三重循环遍历所有子数组，并计算他们的异或和是否等于0。时间复杂度为O(n^3)。

def countTriplets(arr):
    n = len(arr)
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            for k in range(j, n):
                if reduce(lambda x, y: x ^ y, arr[i:k+1], 0) == 0:
                    res += 1
    return res

方案二：前缀异或

由于异或具有自反性（a ^ a = 0），因此可以使用前缀异或的方式快速计算子数组的异或和。具体方法是，先计算出前缀异或数组 prefix，其中 prefix[i] 表示 arr[0]^arr[1]^...^arr[i-1]，那么数组 arr 中子数组 i~j 的异或和可以表示为 prefix[i] ^ prefix[j+1]。然后，遍历 i 和 j，统计符合条件的 k 的个数，即满足 prefix[i] ^ prefix[j+1] ^ prefix[k+1] == 0 的 k 的数量。时间复杂度为O(n^2)。

def countTriplets(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [0] * (n+1)
    for i in range(n):
        prefix[i+1] = prefix[i] ^ arr[i]
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
             if prefix[i] == prefix[j+1]:
                    res += j-i
    return res

方案三：哈希表

类似于方案二，我们也可以使用哈希表来记录前缀异或值以及出现次数。具体方法是，遍历i和j，先计算出prefix[i] ^ prefix[j+1]的值，然后查询哈希表中是否有值为prefix[i] ^ prefix[j+1]的项。如果有，则说明存在子数组i~k（i<=k<=j）的异或和为0，那么将该项的出现次数累加进结果中。时间复杂度为O(n^2)。

def countTriplets(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [0] * (n+1)
    for i in range(n):
        prefix[i+1] = prefix[i] ^ arr[i]
    freq = {}
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            xor = prefix[i] ^ prefix[j+1]
            if xor in freq:
                res += freq[xor]
            if xor == 0:
                res += j-i
            freq[xor] = freq.get(xor, 0) + 1
    return res

总结

三个方案的时间复杂度分别为 O(n^3)、O(n^2) 和 O(n^2)。其中方案二和三的时间复杂度相同，但方案三在耗费更多的空间来使用哈希表记录出现次数。从时间和空间上考虑，如果数组较大，可以使用方案二；如果数组较小，可以使用方案三。