所有子数组的 XOR 的 XOR 查询

问题描述

给定一个整数数组 nums，请你找出所有子数组（连续）的异或值的异或和。

具体而言，返回 nums 中所有子数组异或值的异或和。

问题分析

子数组问题通常可以通过枚举每个子数组和使用前缀和或差分等技巧以较低的复杂度解决。

考虑对 nums 中的每个元素 nums[i] 进行一次计算。假设当前处理的元素为 nums[i]，则以 nums[i] 结尾的子数组共有 i+1 个，分别为：

• $[0,i]$
• $[1,i]$
• $[2,i]$
• ...
• $[i-1,i]$
• $[i,i]$

对于每个子数组，我们计算其异或值，然后对所有异或值再次进行异或操作，即可得到所有子数组异或值的异或和。

具体而言，对于 $[j,i]$ 子数组，其中 $j\leq i$，我们用 $xor(j,i)$ 表示这个子数组的异或值。则所有子数组异或值的异或和 $\mathrm{xorsum}$ 可以表示为：

$$\mathrm{xorsum} = \bigoplus\limits_{i=0}^{n-1} \bigoplus\limits_{j=0}^{i} \big(xor(j,i)\big)$$

其中 $\bigoplus$ 表示异或操作。

因此，我们只需要计算出所有 $xor(j,i)$ 的异或和，即可得到最终的答案。具体实现中，可以通过前缀异或和来计算，设 $prefix[i]$ 表示 $nums[0:i]$ 的异或和，则有：

$$xor(j,i) = \bigoplus\limits_{k=j}^{i} nums[k] = prefix[i] \bigoplus prefix[j-1]$$

代码实现

Python 代码实现如下：

from typing import List

def getXorSum(nums: List[int]) -> int:
    prefix = [0] * len(nums)
    prefix[0] = nums[0]
    for i in range(1, len(nums)):
        prefix[i] = prefix[i-1] ^ nums[i]
    res = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1):
            x = prefix[i] ^ (prefix[j-1] if j >= 1 else 0)
            res ^= x
    return res

时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。