所有子数组XOR的XOR | 套装2

介绍

本文将介绍一道经典的位运算问题，即求解一个数组中所有子数组异或和的异或和（All Subarrays XOR's XOR）。该问题涉及到位运算和分治思想，适合需要深入理解位运算和递归算法的程序员。

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$，计算其所有子数组（即连续子序列）的异或和的异或和（即对每个子数组的异或和进行异或操作，求出最后的结果）。

例如，对于数组 $a=[1,2,3]$，所有子数组异或和的异或和为 $1 \oplus 2 \oplus 3 \oplus (1 \oplus 2) \oplus (2 \oplus 3) \oplus (1 \oplus 2 \oplus 3) = 3$。

解题思路

本问题的解题思路采用分治算法。由于异或运算具有可逆性，因此可以先求出每个元素的异或和 $s = a_1 \oplus a_2 \oplus \cdots \oplus a_n$，然后对于区间 $[l,r]$，计算其异或和 $x = a_l \oplus a_{l+1} \oplus \cdots \oplus a_{r}$，可以得到如下递推式：

$$ f(l,r)=f(l,r-1) \oplus a_r \oplus s \oplus f(1,l-1) \oplus f(1,r-1) $$

其中 $f(l,r)$ 表示以 $a_l$ 和 $a_r$ 为左右端点的子数组异或和的异或和，$s$ 表示 $a$ 中所有元素的异或和。

为了便于理解，可以将递推式分解为三个部分：

• $f(l,r-1)$：以 $a_l$ 和 $a_{r-1}$ 为左右端点的子数组异或和的异或和。
• $a_r \oplus s$：将 $a_r$ 异或上 $s$，得到一个新的数值。
• $f(1,l-1) \oplus f(1,r-1)$：计算 $a_1$ 到 $a_{l-1}$ 的某个子数组异或和的异或和和 $a_1$ 到 $a_{r-1}$ 的某个子数组异或和的异或和，将两者进行异或操作。

用递归实现上述递推式即可得到最终的答案。

代码实现

下面是完整的 Python 实现，该实现采用递归方式实现上述递推式。由于计算过程中采用了异或运算，因此变量的初始值应为 $0$。

def solve(l, r, s, a):
    if l > r:
        return 0
    if l == r:
        return a[l]
    x = s ^ a[r]
    return solve(l, r - 1, s, a) ^ solve(1, l - 1, s, a) ^ solve(1, r - 1, s, a) ^ x

总结

本文介绍了一道经典的位运算问题，即计算一个数组中所有子数组异或和的异或和。该问题采用分治算法来解决，其递推式使用了异或运算的可逆性，递归实现比较简洁。需要注意的是，变量的初始值应为 $0$。