给定二进制字符串可被 2 整除的子序列数

问题描述

给定一个由 0 和 1 组成的二进制字符串 s，求出其中总共有多少个不同的子序列，满足其所代表的二进制数可以被 2 整除。

解题思路

对于任意的二进制数，其末位只有 0 或 1 两种可能，而被 2 整除的二进制数，其末位必须是 0，因此，对于给定的二进制字符串 s，我们可以把所有末位为 0 的子序列都找出来，这些子序列所代表的二进制数均可以被 2 整除。

对于一个长度为 n 的二进制字符串 s，定义 f(i,j) 表示从 i 到 j 这段子串的不同的子序列中，能够被 2 整除的子序列数。则我们有以下状态转移方程：

• 当 s[j] = 0 时，f(i,j) = f(i,j-1) + f(i,j-1)，即包含 s[j] 和不包含 s[j] 两种情况
• 当 s[j] = 1 时，f(i,j) = f(i,j-1)，因为末位为 1 的子序列不可能被 2 整除

最终，可被 2 整除的子序列数为 f(0,n-1)。

代码示例

def countSubsequences(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]

    # 初始化
    for i in range(n):
        if s[i] == '0':
            dp[i][i] = 1

    # 状态转移
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            if s[j] == '1':
                dp[i][j] = dp[i][j-1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i][j-1]

    return dp[0][n-1]

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n^2)$。