📅 最后修改于: 2023-12-03 15:41:16.799000 🧑 作者: Mango
在一些算法竞赛或者程序设计考试中，我们可能会遇到需要通过给定的一些操作生成一些特定的二进制字符串，然后需要找到其中第 N 个字符串的第 M 位是什么的问题。下面将介绍一些常见的思路和方法来解决这类问题。
最简单也是最直接的方法当然是直接生成整个字符串集合，然后找出需要的字符串，再从中找到对应的位。但是，显然这样的做法在时间和空间上都不可行，因为将需要生成 $2^n$ 个字符串，其中大部分都不需要用到，而且存储所有的字符串也需要大量的空间。
下面是一种以生成第 N 个二进制字符串为例的简单算法的伪代码：
def generate_binary_strings(n, m):
s = []
for i in range(2 ** n):
temp = bin(i)[2:]
temp = '0' * (n - len(temp)) + temp
s.append(temp)
return s[n - 1][m - 1]
上述代码生成了 $2^n$ 个字符串，然后返回第 N 个字符串的第 M 个字符。
通过观察二进制字符串的性质，我们可以发现对于长度为 n 的二进制字符串 s 来说，它的第 i 位是 0 或者 1 ，那么在第 n 位之前的每一位，我们都可以选择存储 0 或者 1，这样就可以生成所有的二进制字符串。这个想法可以通过递归来实现。具体的做法是：对于每一个二进制字符串，我们只需要考虑它的最后一位是 0 还是 1，然后递归地加入到字符串中，直到长度为 n，然后返回第 N 个字符串的第 M 个字符。
下面是一种递归生成二进制字符串的简单算法的伪代码：
def generate_binary_strings(n, start, end, k, m):
if start > n:
return ''
mid = (start + end) // 2
cnt = mid - start + 1
temp = '0' if k <= cnt else '1'
if k <= cnt:
kth = mid - cnt + k
else:
kth = k - cnt
t = generate_binary_strings(n, start, mid - 1, kth, m)
if len(t) >= m:
return t[m - 1] if start == n else t
if temp == '1' and mid == n:
return temp
return t + generate_binary_strings(n, mid + 1, end, kth, m - len(t))
def get_kth_bit(n, k, m):
ans = generate_binary_strings(n, 1, 2 ** (n - 1), k, m)
return ans if len(ans) > 0 else '0'
上述代码使用了递归的思想，以二分查找的方式来生成第 k 个字符串，并返回第 M 位。
对于本题而言，也可以通过寻找数据规律来解题。当 N 的值较大时，不管是暴力模拟还是递归算法都会超时。
我们可以通过手动构造一些二进制字符串，尝试分析它们之间的规律，然后找到这个规律的数学表达式。例如，下面是一些构造出来的二进制字符串：
我们可以发现，这些二进制字符串按字典序排列后的第 i 个字符串的第 j 位是：
$$\text{bit}(i, j) =\begin{cases}0 &(i \operatorname{xor}~ 1) ~&~ (1 \ll (j - 1)) = 0\1 &(i \operatorname{xor}~ 1) ~&~ (1 \ll (j - 1)) \neq 0\end{cases}$$
其中，$\operatorname{xor}$ 表示按位异或，$\text{bit}(i, j)$ 表示排列后的第 i 个字符串的第 j 位，$&$ 表示按位与，$1 \ll (j - 1)$ 表示将 1 向左移动 j - 1 位。
然后，我们只要将 i 换成 N - 1，再将 j 换成 M，就可以得到第 N 个二进制字符串的第 M 位了。
本文介绍了三种方法来解决给定操作生成的序列中第 N 个二进制字符串中的第 M 个字符。第一种方法是直接模拟生成整个字符串集合，但时间复杂度和空间复杂度都很高，对于较大的 N 值不适用。第二种方法采用了递归的方式来生成特定的字符串，因此时间和空间复杂度都比较优秀，但较为复杂。第三种方法是通过观察数据规律来解题，主要思路是寻找数学表达式，因此该方法时间复杂度和空间复杂度也较高效。实际应用中，面对不同的数据规模和复杂度，我们可以选择不同的方法来解答这个问题。