小于或等于n的最大数字和非降序数字

简介

本主题涉及到一个经典的问题：如何找到小于或等于给定数目 n 的最大数字和非降序数字。本文将会介绍两种常见的解法：暴力枚举和贪心算法。

暴力枚举

暴力枚举的思路十分简单：从 n 开始一个一个尝试，直到找到一个数字 x 满足以下两个条件：

1. x 的各个数位之和不小于 n 的各个数位之和。
2. x 的各位数字是非降序的。

具体实现可以使用一层循环来递增地尝试数字 x，然后在循环内部编写函数来判断该数字是否满足条件。最终返回找到的最大数字即可。

下面是一个简单的 Python 实现：

def max_not_descending_digit_sum(n):
    def digit_sum(x):
        return sum(int(i) for i in str(x))
    for x in range(n, -1, -1):
        if digit_sum(x) >= digit_sum(n) and all(x[i] <= x[i + 1] for i in range(len(str(x)) - 1)):
            return x
    return -1

贪心算法

贪心算法是一种寻找局部最优解的方法，通常用于求解最优化问题。本问题也可以通过贪心算法来解决：我们从高位到低位依次构造数字，并且每一位上的数字都尽可能大，从而保证数字是非降序的。

具体实现可以通过不断地求解最大数位和来确定最高位的数字是多少，然后以此类推，依次得到每一位数字。注意，当我们求解某一位数字时，可能会出现当前数字的高位与 n 的对应数位不同的情况，此时需要将当前位数字尽可能的设为 9，以确保找到的数字尽可能的大，同时满足非降序的条件。

下面是一个简单的 Python 实现：

def max_not_descending_digit_sum(n):
    def digit_sum(x):
        return sum(int(i) for i in str(x))
    digits = []
    for i in range(len(str(n))):
        upper = int(str(n)[i]) if i == 0 else 9
        for d in range(upper, -1, -1):
            if digit_sum(int("".join(map(str, digits + [d] * (len(str(n)) - i)))) >= digit_sum(n):
                digits.append(d)
                break
    return int("".join(map(str, digits)))

总结

本文分别介绍了暴力枚举和贪心算法两种解法，它们的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(len(str(n)))，由于本问题的输入规模比较小，两种算法的性能差别不明显。无论采用哪种算法，我们都可以在很短的时间内找到符合条件的最大数字。