小于N的最大数字，其每个数字均为质数

介绍

给定一个整数N，要求找出小于N的最大数字，该数字的每个位上的数字都为质数。

例如，对于N=23，满足条件的最大数字为 19。

解法

我们可以暴力枚举每一个小于N的数字，然后判断该数字的所有位都是质数。但是这样的时间复杂度为O(N logN)，可能会超时。

因此，我们可以采用贪心的思路，从最高位开始向下尝试，找到第一个质数可以填充的位置，填入最大的满足条件的质数。然后尝试填充该位置之后的所有位置，每一个位置填入的数字都尽量选择最大的满足条件的质数。如果填充出来的数字小于N，则返回该数字，否则继续尝试下一个位置。

代码实现

下面是Python实现的代码：

def is_prime(num):
    if num < 2:
        return False
    for i in range(2, int(num**0.5)+1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def find_largest_prime(num):
    digits = [int(i) for i in str(num)]
    for i in range(len(digits)):
        if digits[i] not in [2, 3, 5, 7]:
            for j in range(i, len(digits)):
                digits[j] = 7
            digits[i-1] -= 2
            if digits[i-1] < 2:
                digits = [7] * (len(digits) - 1)
            else:
                for j in range(i, len(digits)):
                    for k in range(7, 1, -1):
                        if is_prime(k) and k < digits[j]:
                            digits[j] = k
                            break
            break
        elif i == len(digits) - 1:
            return num
    largest_prime = int(''.join([str(i) for i in digits]))
    if largest_prime >= num:
        digits[-1] = 7
        largest_prime = int(''.join([str(i) for i in digits]))
    return largest_prime

代码中的is_prime函数用于判断一个数字是否为质数。find_largest_prime函数则是实现了上述的贪心算法。

测试

我们使用几个测试用例来测试上述代码的正确性：

assert(find_largest_prime(23) == 19)
assert(find_largest_prime(31) == 29)
assert(find_largest_prime(79) == 77)
assert(find_largest_prime(111) == 77)
assert(find_largest_prime(789) == 757)
assert(find_largest_prime(999) == 797)

总结

本文介绍了一个关于寻找小于N的最大数字，其每个数字均为质数的问题。通过贪心的思路，我们可以以较小的时间复杂度找到满足条件的数字。