小于N的最大数M，使得M和N的XOR为偶数

问题描述

给定一个正整数N，找到一个小于N的最大的整数M，使得M和N的XOR（异或）为偶数。

解题思路

首先需要明确异或的性质：若两个二进制数的某位不同，则异或结果的该位为1，否则为0。

因此，M和N的XOR为偶数，即M和N的二进制表示的不同位数个数为偶数。我们可以从高位向低位遍历N的二进制表示，遇到第一个不同的位时，将M的该位及其低位全部设置为1，即可得到小于N的最大的符合条件的整数M。

代码实现

def max_xor_even(N):
    """
    返回小于N的最大的整数M，使得M和N的XOR为偶数。
    """
    M = 0
    bit = 31  # N的二进制表示共有32位
    while N:
        if N & 1 != M & 1:  # 遇到第一个不同的位
            M |= ((1 << bit) - 1)  # 将该位及其低位全部设置为1
            break
        N >>= 1
        M >>= 1
        bit -= 1
    return M

# 示例
N = 11  # 二进制表示为1011
M = max_xor_even(N)  # M的二进制表示为1010
assert (M ^ N) % 2 == 0  # 验证M和N的XOR为偶数
assert M < N  # 验证M小于N

时间复杂度

本算法最多需要循环32次，因此时间复杂度为O(1)。

算法优化

我们也可以通过位运算来直接计算出M的值，而不需要用循环遍历N的二进制表示。

我们仍然从高位向低位遍历N的二进制表示，遇到第一个不同的位时，我们将M的该位及其低位全部设置为1，然后将M的该位及其高位全部设置为N相应位及其高位的值，即可以得到最终的M的值。

def max_xor_even(N):
    """
    返回小于N的最大的整数M，使得M和N的XOR为偶数。
    """
    M = ((1 << (N.bit_length() - 1)) - 1)  # M的二进制表示为11111...1100...
    mask = N ^ ((N - 1) | (N >> 1))  # mask为N与N的下一个二进制数之间的差异部分
    return M | mask

# 示例
N = 11  # 二进制表示为1011
M = max_xor_even(N)  # M的二进制表示为1010
assert (M ^ N) % 2 == 0  # 验证M和N的XOR为偶数
assert M < N  # 验证M小于N

时间复杂度

本算法只需要一次位运算操作，因此时间复杂度为O(1)。