具有 N 位计数的最大数 M 使得它们的 OR 和 XOR 值之间的差异最大化

当我们需要比较两个二进制数时，常常会用到 OR 和 XOR 运算。但是，有时候我们需要对这两种运算的结果进行比较，就需要求出它们的差异。而本题就是要求出一个 N 位的二进制数 M，使得它的 OR 值和 XOR 值之间的差异最大化。

思路分析

我们可以先从最简单的情况开始想，例如一个只有一位的二进制数，它的 OR 值和 XOR 值分别是 1 和 0，它们的差异为 1。那么，我们如何将这种情况推广到二进制数的任意位数呢？

我们可以将这个二进制数 M 拆分成它的每一位，例如一个 4 位的二进制数 M，可以表示为：

M = M4 × 2^3 + M3 × 2^2 + M2 × 2^1 + M1 × 2^0

其中，M4、M3、M2 和 M1 都是 0 或 1。对于一个 N 位的二进制数 M，我们可以表示为：

M = M[N] × 2^(N-1) + M[N-1] × 2^(N-2) + ... + M2 × 2^1 + M1 × 2^0

这时，我们可以把 XOR 值和 OR 值表示成：

XOR = M[N] × 2^(N-1) XOR M[N-1] × 2^(N-2) XOR ... XOR M2 × 2^1 XOR M1 × 2^0
OR  = M[N] × 2^(N-1) OR  M[N-1] × 2^(N-2) OR  ... OR  M2 × 2^1 OR  M1 × 2^0

其中，XOR 表示 XOR 运算的结果，OR 表示 OR 运算的结果。

现在，我们的问题是如何让 XOR 值和 OR 值之间的差异最大化。我们可以利用 XOR 运算和 OR 运算的特性来解决这个问题。

首先，对于任意一个二进制数 N，N XOR 0 的结果就是 N 本身。因此，我们可以得到下面这个结论：

XOR(M) <= M

也就是说，M 的 XOR 值不可能大于 M 本身。

其次，对于任意两个二进制数 N 和 M，N OR M 的结果的位数不可能少于 N 和 M 中的任意一个。因此，我们可以得到下面这个结论：

OR(M) >= M

也就是说，M 的 OR 值不可能小于 M 本身。

结合上面两个结论，我们可以发现，M 的 XOR 值越小，M 的 OR 值就越大，差异就越大。因此，我们的任务就是最小化 M 的 XOR 值。

对于一个 N 位的二进制数 M，我们可以把它分成两段，前 K 位和后 N-K 位。那么，M 的 XOR 值可以表示为：

XOR(M) = XOR(M[K:N]) XOR (M[0:K])

其中，M[K:N] 表示 M 的后 N-K 位，M[0:K] 表示 M 的前 K 位。

现在，我们的问题转化为了如何最小化 XOR(M[K:N]) XOR (M[0:K])。我们可以利用异或运算的一个性质：两个相等的数异或的结果是 0。因此，我们可以将 M[K:N] 设为 M[0:K]，这样 XOR(M[K:N]) XOR (M[0:K]) 的结果就为 0，M 的 XOR 值也达到了最小。

代码实现

def get_largest_number(n: int) -> int:
    """求出 N 位的二进制数 M，使得它的 OR 值和 XOR 值之间的差异最大化"""
    k = 1
    while k <= n:
        k <<= 1  # 找到最接近 n 的 2 的次幂
    return k - 1

性能分析

该算法的时间复杂度为 O(1)，空间复杂度为 O(1)，可以满足大多数应用场景的要求。

总结

本题的解法虽然简单，但是却非常巧妙。我们可以通过 XOR 运算和 OR 运算的特性来推导出最优解。这也表明了在解决实际问题时，谨慎地利用问题的特性可能会让我们事半功倍。