在旋转数组中查找给定长度的最大和连续子数组的查询

简介

在一个旋转过的升序数组中，查找给定长度的最大和连续子数组。

例如，有一个旋转过的升序数组 [3, 4, 5, 1, 2]，给定长度为2，则最大和连续子数组为 [5, 1]，其和为6。

实现思路

步骤1：找到数组的最小值及其索引

使用二分查找法，找到旋转数组中的最小值及其索引，记为 minValue 和 minIndex。

步骤2：将数组分为两部分

根据最小值的索引，将数组分为两部分，即 [minValue, ..., nums[-1]] 和 [nums[0], ..., nums[minIndex-1]]。

步骤3：在两部分数组中查找最大和连续子数组

3.1 在第一部分数组中查找给定长度的最大和连续子数组。这可以通过动态规划（DP）实现：

• 定义状态：dp1[i] 表示以第 i 个元素为结尾的长度为 k 的连续子数组的最大和。
• 初始化：dp1[k-1] = sum(nums[-k:])。
• 状态转移：dp1[i] = max(dp1[i-1] + nums[-k+i], sum(nums[-k+i+1:i+1]))。
• 返回值：max(dp1)。

3.2 在第二部分数组中查找给定长度的最大和连续子数组。方法同上，只需将数组反转即可。

步骤4：返回两部分最大和连续子数组的和的最大值

将步骤3中两部分数组的最大和连续子数组的和相加，返回其最大值即可。

代码实现

def find_max_sum_subarray(nums, k):
    def find_min(nums):
        left, right = 0, len(nums)-1
        while left < right:
            mid = (left+right) // 2
            if nums[mid] > nums[right]:
                left = mid + 1
            else:
                right = mid
        return nums[left], left
    
    def max_sum_subarray(nums, k):
        n = len(nums)
        dp = [0] * k
        dp[0] = s = sum(nums[:k])
        for i in range(1, n-k+1):
            s += nums[i+k-1] - nums[i-1]
            dp[i%k] = max(dp[(i-1)%k] + nums[i+k-1], s)
        return max(dp)
    
    minValue, minIndex = find_min(nums)
    subarray1 = nums[minIndex:] + nums[:minIndex]
    subarray2 = subarray1[::-1]
    return max_sum_subarray(subarray1, k) + max_sum_subarray(subarray2, k)

复杂度分析

本算法使用了二分查找法和动态规划（DP），时间复杂度为 $O(n \log n + k)$，空间复杂度为 $O(k)$，其中 $n$ 为数组长度，$k$ 为需要查找的最大和连续子数组长度。