ML – 不同的回归类型

在机器学习中，回归是指根据已知数据来预测未知数据的值的过程。回归分析是机器学习和统计学中的重要方法之一。回归分析通过一条或多条线来描述数据，以便根据已知数据来估计或预测未知数据的值。在本文中，我们将介绍不同类型的回归。

线性回归

线性回归是一种基本的回归类型，它使用线性函数来拟合数据。线性回归的公式为：

$$ y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + \dots + \beta_nx_n + \epsilon $$

其中，$y$ 是因变量，$x_1, x_2, \dots, x_n$ 是自变量，$\beta_0, \beta_1, \dots, \beta_n$ 是回归系数，$\epsilon$ 是误差项。

线性回归通常适用于数据点的分布较为均匀，自变量和因变量之间呈现 凸形 或 凹形 关系的情况。在 Python 中，可以使用 scikit-learn 库的 LinearRegression 类来实现线性回归。

from sklearn.linear_model import LinearRegression

model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

多项式回归

多项式回归可以看做是线性回归的拓展，它使用多项式函数来拟合数据。多项式回归的公式为：

$$y = \beta_0 + \beta_1x + \beta_2x^2 + \dots + \beta_dx^d + \epsilon$$

其中，$d$ 是多项式的次数。当 $d$ 等于 1 时，多项式回归就变成了线性回归。

多项式回归通常适用于数据点的分布较为复杂，自变量和因变量之间呈现曲线关系的情况。在 Python 中，可以使用 scikit-learn 库的 PolynomialFeatures 类来实现多项式转换，再使用 LinearRegression 类来拟合数据。

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LinearRegression

poly_features = PolynomialFeatures(degree=2)
X_poly = poly_features.fit_transform(X_train)

model = LinearRegression()
model.fit(X_poly, y_train)

Ridge 回归

Ridge 回归是一种正则化线性回归方法，它通过增加正则化项来减小过拟合风险。Ridge 回归的目标函数为：

$$\min_{\beta} \left[\sum_{i=1}^n(y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2 + \alpha \sum_{j=1}^p \beta_j^2\right]$$

其中，$p$ 是自变量的数量，$\alpha$ 是正则化参数。

在 Python 中，可以使用 scikit-learn 库的 Ridge 类来实现 Ridge 回归。

from sklearn.linear_model import Ridge

model = Ridge(alpha=1.0)
model.fit(X_train, y_train)

Lasso 回归

Lasso 回归也是一种正则化线性回归方法，它通过增加 L1 正则化项来减小过拟合风险。Lasso 回归的目标函数为：

$$\min_{\beta} \left[\sum_{i=1}^n(y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2 + \alpha \sum_{j=1}^p |\beta_j|\right]$$

其中，$p$ 是自变量的数量，$\alpha$ 是正则化参数。

在 Python 中，可以使用 scikit-learn 库的 Lasso 类来实现 Lasso 回归。

from sklearn.linear_model import Lasso

model = Lasso(alpha=1.0)
model.fit(X_train, y_train)

ElasticNet 回归

ElasticNet 回归是一种结合了 Ridge 回归和 Lasso 回归的正则化线性回归方法，它通过增加 L1 和 L2 正则化项来减小过拟合风险。ElasticNet 回归的目标函数为：

$$\min_{\beta} \left[\sum_{i=1}^n(y_i - \beta_0 - \sum_{j=1}^p \beta_j x_{ij})^2 + \alpha \rho \sum_{j=1}^p |\beta_j| + \frac{\alpha(1-\rho)}{2} \sum_{j=1}^p \beta_j^2\right]$$

其中，$p$ 是自变量的数量，$\alpha$ 是正则化参数，$\rho$ 是 Ridge 正则化的系数。

在 Python 中，可以使用 scikit-learn 库的 ElasticNet 类来实现 ElasticNet 回归。

from sklearn.linear_model import ElasticNet

model = ElasticNet(alpha=1.0, l1_ratio=0.5)
model.fit(X_train, y_train)

以上就是不同类型的回归。它们各有优缺点，可以根据数据的分布情况来选择合适的方法。