将 r sin θ = 4 转换为矩形形式

圆锥截面是数学的一个分支，它处理由圆锥与平面相交形成的曲线的研究。圆锥和平面之间的相交可以根据相交的点和角度而有所不同。在考虑圆锥曲线方程时，最重要的两个是极坐标方程和矩形方程。在本文中，我们将讨论极坐标和矩形方程以及它们的转换。

极坐标方程

涉及角度θ和距离“r”之间关系的方程属于这一类。这里，“r”表示原点（也称为极点）和曲线上一点之间的距离， θ表示原点、x 轴的正侧和给定数学曲线上的一点所形成的顺时针角度.

x = r cos θ

y = r sin θ

矩形方程

涉及变量的方程属于此类矩形方程。这些方程中不涉及角度，它们只是具有适当数学运算符的常数和变量。矩形方程可以很容易地表示为笛卡尔平面上的图形。

r² = x² + y²

将极坐标方程转换为矩形方程

极坐标到矩形形式的转换很容易。要将极坐标转换为矩形，请执行以下步骤：

第 1 步：列出具有 r、 θ角和变量 x、y 的极坐标方程

x = r cos θ (eq1)

y = r sin θ (eq2)

第 2 步：仔细考虑可以消除θ角的情况。

对 eq1 求平方，我们得到：

x ² = r ² cos ² θ (eq3)

同样，对 eq 2 求平方，我们得到：

y ² = r ² sin ² θ (eq4)

第 3 步：根据涉及“Sin theta”和“Cos theta”的三角方程，根据需要执行数学加法

添加 eq3 和 eq4

x ² + y ² = r ² cos ² θ + r ² cos ² θ

我们已经知道， sin ² θ + cos ² θ = 1

r ² = x ² + y ²

我们看到从组合方程中消除了 theta，因此通过上述方式，我们能够将 Polar 方程转换为矩形方程。

将极坐标方程 r sin θ = 4 转换为矩形形式

解决方案：

Given r sin θ = 4 …(1)

As we know that 

y = r sin θ

So, in the equation (1) replace r sinθ by y

y = 4

We conclude that the rectangular form of r sinθ = 4 is y = 4.

 

示例问题

问题 1. 将极坐标方程 r = 10 sin θ转换为矩形形式

解决方案：

Given r = 4 sinθ

Multiply both LHS and RHS by r

r² = 4r sinθ

We already know, r² = x² + y²

Replace r² by x² + y²

x² + y² = 4r sinθ

Now, as we know y = r sinθ

So, replace r sinθ by y

x² + y² = 4 y

x² + y² – 4y = 0

Add 4 on both LHS and RHS

x² + y² + 4 – 4y  = 4

x² + (y – 2)² = 4

We conclude that the rectangular form of r = 4 sin theta is x² + (y – 2)² = 4

问题 2. 将极坐标方程 r = 6 sin θ转换为矩形形式

解决方案：

Given r = 6 sinθ

Multiply both LHS and RHS by r

r² = 6r sinθ

We already know, r² = x² + y²

Replace r² by x² + y²

x² + y² = 6r sinθ

Now, as we know y = r sinθ

So, replace r sinθ by y

x² + y² = 6y

x² + y² – 6y = 0

Add 9 on both LHS and RHS

x² + y² + 9 – 6y  = 9

x² + (y – 3)² = 9

We conclude that the rectangular form of r = 6 sin theta is x² + (y – 2)² = 9

问题 3. 将极坐标方程 r = 4 cos θ转换为矩形形式

解决方案：

Given r = 4 cos theta

Multiply both LHS and RHS by r

r² = 4 r cosθ

We already know, r² = x² + y²

Replace r² by x² + y²

x² + y² = 4r cosθ

Now, as we know x = r cosθ

So, replace r cosθ by y

x² + y² = 4 x

x² + y² – 4x = 0

Add 4 on both LHS and RHS

x² + y² + 4 – 4x = 4

(x – 2)² + y² = 4

We conclude that the rectangular form of r = 4 cos theta is (x – 2)² + y² = 4

问题 4. 给定方程 r = 6 cos θ，现在将其转换为矩形形式

解决方案：

Given r = 6 cosθ

Multiply both LHS and RHS by r

r² = 6 r cosθ

We already know, r² = x² + y²

Replace r² by x² + y²

x² + y² = 6r cosθ

Now, as we know x = r cosθ

So, replace r cosθ by y

x² + y² = 6 x

x² + y² – 6x = 0

Add 9 on both LHS and RHS

x² + y² + 9 – 6x = 9

(x – 3)² + y² = 9

We conclude that the rectangular form of r = 6 cos theta is (x – 3)² + y² = 9

问题 5. 将极坐标方程 r = 10 sin θ转换为矩形形式

解决方案：

Given r = 10 sinθ

Multiply both LHS and RHS by r

r² = 10r sinθ

We already know, r² = x² + y²

Replace r² by x² + y²

x² + y² = 10r sinθ

Now, as we know y = r sinθ

So, replace r sinθ by y

x² + y²  = 10 y

x² + y² – 10y = 0

Add 25 on both LHS and RHS

x² + y² + 25 – 10y = 25

x² + (y – 5)² = 25

We conclude that the rectangular form of r = 10 sin theta is x² + (y – 5)² = 25