最小化由相同索引元素的乘积组成的所有子阵列的总和

问题描述

给定一个大小为$n \times m$的矩阵$A$，所有元素都是非负整数。定义一个子阵列为$A$中由相同索引的元素组成的集合。例如，对于$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$，其中$[1,2,3]$和$[4,5,6]$是子阵列，但$[1,2,4]$不是。

现在请你设计一个算法，使得定义一个大小为$k$（$k \leq n$）的子阵列的代价为该子阵列中所有元素的乘积，并使得所有$k$大小的子阵列的代价之和最小。

解题思路

问题分析

该问题可以转化为一个更加直观的问题：对于一个长度为$n$的序列$a_1,a_2,\cdots,a_n$，找到$k$个不相交的子序列，使得这$k$个子序列的乘积之和最小。

因为一个长度为$n$的序列最多有$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$个长度为$2$的不相交子序列，而长度为$2$的不相交子序列的代价总是$0$，所以在找到一组长度为$k$的不相交子序列后，我们可以直接把它们删除，把剩下的所有数重新构成一个长度为$n-2k$的序列；然后在这个长度为$n-2k$的序列中继续找到$k$个长度为$2$的不相交子序列，依此类推，直到剩下的数的个数小于$k$，这时我们只需找到这些数的最小代价就可以了。因此，我们可以用一个递归函数来解决问题。

对于一个长度为$n$的序列$A$，可以先对它按照从小到大的顺序排序，然后对于每个$1 \leq i \leq n$，找到它后面的第一个比它大的数$j$，把${a_i,a_{i+1},\cdots,a_{j-1}}$作为一个子序列，并递归求解剩下的部分；在所有长度为$k$的子序列中找到代价最小的一个，即为该问题的解。

算法实现

下面给出一个Python实现。注意，由于可能存在$n < k$的情况，因此在递归时，需要判断当前剩余的数的个数是否大于等于$k$。此外，为了避免浮点误差导致答案出错，我们可以把每个数取对数之后再做乘法，最后把结果取指数即可。代码如下：

import math

def get_cost(A, i, j, k):
    if k == 1:
        return A[i:j]
    if j-i < k:
        return None

    costs = []
    for p in range(i, j-k+1):
        tmp = get_cost(A, p+1, j, k-1)
        if tmp is not None:
            costs.append(sum([math.log(x) for x in A[p:j]]) + sum(tmp))

    return min(costs) if costs else None

def min_sum_of_products(A, k):
    A.sort()
    return math.exp(get_cost(A, 0, len(A), k))

参考资料

无