最大子阵列乘积 M

最大子阵列乘积是指在一个二维数组中，找到一个子阵列，使得子阵列中所有元素的乘积最大。

注意，最大子阵列乘积和最大子串乘积是不同的问题。最大子串乘积是在一维数组中找到一个连续的子串，使得子串中所有元素的乘积最大。

思路

最大子阵列乘积和最大子串乘积一样，都可以使用动态规划来解决。

设 $dp_{i,j}$ 表示以以第 $i$ 行第 $j$ 列元素为右下角的子阵列的最大乘积。则有以下状态转移方程：

$$dp_{i,j}=\max\begin{cases}dp_{i-1,j}\times A_{i,j}\dp_{i,j-1}\times A_{i,j}\dp_{i-1,j-1}\times A_{i,j}\A_{i,j}\end{cases}$$

其中 $A_{i,j}$ 表示原始数组中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素值。

边界条件为 $dp_{1,1}=A_{1,1}$。

在状态转移的过程中，同时记录最大的乘积值，即可得到最大子阵列乘积。

代码

以下为 Python 代码实现：

def maxSubmatrixProduct(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = matrix[0][0]
    res = dp[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = max(dp[i-1][0] * matrix[i][0], matrix[i][0])
        res = max(res, dp[i][0])
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = max(dp[0][j-1] * matrix[0][j], matrix[0][j])
        res = max(res, dp[0][j])
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j] * matrix[i][j], dp[i][j-1] * matrix[i][j], dp[i-1][j-1] * matrix[i][j], matrix[i][j])
            res = max(res, dp[i][j])
    return res

复杂度分析

时间复杂度：$O(mn)$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为数组的行数和列数。

空间复杂度：$O(mn)$，需要使用大小为 $m\times n$ 的二维数组 $dp$ 存储状态。