奇数乘积的子阵列数

在计算机科学中，我们经常遇到需要统计子阵列的数量的问题。特别地，当我们只关注奇数乘积的子阵列时，可以利用一些技巧优化算法的效率。

问题描述

给定一个整数数组 $nums$，求出所有奇数乘积的子阵列数量。

解法

Naive算法

最暴力的算法是对于每个子数组，统计其乘积是否为奇数。这种算法的时间复杂度是 $O(n^3)$，其中 $n$ 是数组的长度。

def count_odd_product_subarrays_naive(nums):
    count = 0
    
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)):
            product = 1
            for k in range(i, j+1):
                product *= nums[k]
            if product % 2 == 1:
                count += 1
    
    return count

优化算法

暴力算法的时间复杂度很高，可以通过一些技巧进行优化。

首先，我们观察到所有的偶数都是无用的，因为任何一个偶数乘上任何数都是偶数。所以我们可以将所有的偶数从数组中去除，只保留奇数。这个操作可以通过一次循环实现，时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是输入数组的长度。

其次，我们观察到一个奇数乘积为奇数，当且仅当其中奇数的个数为奇数。这是一个比较显然的结论，可以通过对所有的奇数进行组合推导得到。所以我们只需要统计奇数的个数，并计算其子阵列的数量。这个操作可以通过两次循环实现，时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 是输入数组中奇数的个数。

具体实现参见下面的代码：

def count_odd_product_subarrays(nums):
    odds = [num for num in nums if num % 2 == 1]
    count = len(odds)
    
    for i in range(len(odds)):
        product = 1
        for j in range(i, len(odds)):
            product *= odds[j]
            if product % 2 == 1:
                count += 1
    
    return count

总结

本文介绍了如何统计所有奇数乘积的子阵列数量，通过去除偶数和使用奇偶性的技巧实现了时间复杂度为 $O(n^2)$ 的算法。