奇数乘积的子阵列数

当处理数组或矩阵时，有时需要统计其中奇数乘积的子阵列数量。这种问题可以使用动态规划算法解决。

算法思路

对于一个长度为n的数组/矩阵，可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示以i为结尾、j为起始点的子数组/子矩阵中奇数乘积的数量。

则对于dp[i][j]，有以下两种情况：

• 如果a[i]为偶数，则dp[i][j]=0，因为偶数乘上任何数都为偶数。

• 如果a[i]为奇数，则有两种情况需要考虑：

  • 将a[i]作为单独的元素，此时dp[i][j]=1。这是因为奇数乘上1还是奇数。
  • 将a[i]和之前的元素相乘，形成一个一维或二维的子阵列。此时有dp[i][j]=dp[i-1][k]+1，其中k<j，且a[k~i]中没有偶数。

根据以上算法思路，可以得到以下动态规划转移方程：

if a[i] is even:
    dp[i][j] = 0
else:
    dp[i][j] = 1
    for k in range(j, i):
        if a[k] is odd:
            dp[i][j] += dp[k-1][j-1] + 1

实现示例

以下是Python代码的实现示例：

def odd_subarray_count(a):
    n = len(a)
    dp = [[0]*n for _ in range(n)]
    res = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i+1):
            if a[i]%2 == 0:
                continue
            dp[i][j] = 1
            if i > 0 and j > 0:
                dp[i][j] += dp[i-1][j-1]

            for k in range(j, i):
                if a[k]%2 == 0:
                    continue
                dp[i][j] += dp[k-1][j-1] + 1

            res += dp[i][j]

    return res

总结

使用动态规划算法可以高效地解决统计奇数乘积的子阵列数量的问题。其时间复杂度为O(n^3)，可以胜任绝大部分的数据规模。