具有偶数乘积的子阵列数

在给定的矩阵中，找到具有偶数乘积的子阵列数。这是一个常见的编程问题，涵盖了多种算法和数据结构。

算法简介

给定一个矩阵，可以使用以下算法来找到具有偶数乘积的子阵列：

穷举法

一种最简单的方法是使用两重循环枚举所有可能的子矩阵，并测试它们的乘积是否为偶数。时间复杂度为O(n^4)。

动态规划

可以使用动态规划算法来降低时间复杂度。具体来说，我们可以使用类似于最大连续子序列和问题的方法来解决。我们定义dp[i][j]为以(i,j)作为右下角的子矩阵的乘积为偶数的数量。然后，我们可以递推地计算dp[i][j]，如下所示：

dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + (matrix[i][j] % 2 == 0 ? 1 : 0)) * (matrix[i][j] % 2 == 0 ? 1 : 0)

其中，dp[i-1][j]表示以(i-1,j)作为右下角的子矩阵的数量，以此类推。如果matrix[i][j]是偶数，则将一被添加到dp[i][j]中。最终，我们可以计算整个矩阵的答案dp[m-1][n-1]。

前缀和

可以使用前缀和技巧来进一步减少时间复杂度。我们可以预处理一个矩阵prefix，其中prefix[i][j]表示以(0,0)为左上角、(i,j)为右下角的矩阵的乘积。然后，我们可以使用prefix矩阵来计算任意子矩阵的乘积，如下所示：

submatrix_product = prefix[i2][j2] / prefix[i2][j1-1] / prefix[i1-1][j2] * prefix[i1-1][j1-1]

对于每个子矩阵[i1,j1,i2,j2]，我们可以使用上述公式来计算它的乘积。如果它是偶数，则将计数器加一。时间复杂度为O(n^3)。

代码示例

下面是一个使用动态规划和前缀和算法的Python示例。

def count_submatrices(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    
    # 计算前缀矩阵
    prefix = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            prefix[i][j] = matrix[i][j] * ((prefix[i-1][j] * prefix[i][j-1] / prefix[i-1][j-1]) % 2)
    
    # 动态规划求解
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = 1 if matrix[0][0] % 2 == 0 else 0
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + (prefix[i][0] % 2 == 0)
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + (prefix[0][j] % 2 == 0)
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = (dp[i-1][j] + dp[i][j-1] - dp[i-1][j-1] + (prefix[i][j] % 2 == 0)) * (prefix[i][j] % 2 == 0)
    
    return dp[m-1][n-1]

这个函数接受一个矩阵作为输入，返回具有偶数乘积的子阵列数。它先计算前缀矩阵，然后使用动态规划算法计算dp矩阵，最后返回答案。时间复杂度为O(n^2)。