最大化相同大小子序列的相同索引元素的乘积

在某些应用中，我们希望找到一个子序列，使得这个子序列在各个序列中的对应位置的元素乘积最大。我们称这样的子序列为“相同大小子序列”，并将它们的乘积称为“相同索引元素的乘积”。

问题描述

给定一组长度为 $n$ 的序列 $a_1, a_2, \dots, a_n$，其中每个元素都是正整数。我们希望找到一个相同大小子序列 $b_1, b_2, \dots, b_k$，使得 $b_i$ 是 $a_{p+i}$（$1 \leq i \leq k$）的一个子集，且 $\prod_{i=1}^k b_i$ 最大。

解法概述

我们可以使用动态规划求解这个问题。定义状态 $f_{i,j}$ 表示：在 $a_1, a_2, \dots, a_i$ 中选出 $j$ 个元素作为相同大小子序列的一部分，且最后一个元素是 $a_i$ 的情况下，相同大小子序列的相乘结果的最大值。

状态转移方程为：

$$ f_{i,j} = \max{ f_{i-1,j-1} \cdot a_i, f_{i-1,j} } $$

其中 $f_{i-1,j-1} \cdot a_i$ 表示将 $a_i$ 加入相同大小子序列，$f_{i-1,j}$ 表示不将 $a_i$ 加入相同大小子序列。

最终的答案就是 $f_{n,k}$。

时间复杂度为 $O(nk)$。

代码实现

下面是使用 Python 语言实现的示例代码。

n = 6
k = 3
a = [2, 5, 3, 4, 1, 2]

f = [[0] * (k+1) for i in range(n+1)]

for i in range(1, n+1):
    f[i][0] = 1
    for j in range(1, k+1):
        f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-1] * a[i-1])

print(f[n][k])

注意到实现时，我们使用了一个二维数组 $f$ 来表示状态，其中 $f_{i,j}$ 的含义与上文中的定义相同。我们使用两层循环来对 $f$ 进行动态规划求解。