生成元素为正整数且总和为 K 的大小为 N 的数组的数量

为解决生成元素为正整数且总和为 K 的大小为 N 的数组的数量的问题，我们可以使用递归的方法进行求解。

首先，定义一个函数 countArrays(n, k)，表示生成元素为正整数、大小为 n、总和为 k 的数组的数量。

当数组大小为 1 时，只有当 k 为 1 时才符合条件，此时 countArrays(n, k) 的返回值应该为 1。

当数组大小大于 1 时，我们需要讨论第一个元素的取值。由于元素为正整数，第一个元素的取值范围应该是 [1, k-n+1]。当第一个元素取值为 i 时，剩余元素的大小为 n-1，总和为 k-i。此时我们可以递归地调用 countArrays(n-1, k-i)，并将所有结果相加，最终得到 countArrays(n, k) 的返回值。

因此，可以得到以下代码实现：

def countArrays(n, k):
    if n == 1:
        return 1
    ans = 0
    for i in range(1, k-n+2):
        ans += countArrays(n-1, k-i)
    return ans

然而，由于存在大量重复计算，上述算法的时间复杂度为 O((k-n+1)^n)，效率较低。为了进一步优化算法，我们可以使用动态规划的思想，利用一个二维数组 dp 来存储计算结果，避免重复计算，降低时间复杂度。

具体实现方式为，将 dp[i][j] 定义为生成元素为正整数、大小为 i、总和为 j 的数组的数量。当 i=1 时，有 dp[1][j]=1；当 i>1 时，有 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-i+1]。最终的结果即为 dp[n][k]。

得到以下代码实现：

def countArrays(n, k):
    dp = [[0] * (k+1) for _ in range(n+1)]
    for j in range(1, k+1):
        dp[1][j] = 1
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(i, k+1):
            for x in range(1, i):
                dp[i][j] += dp[i-1][j-x]
    return dp[n][k]

以上算法的时间复杂度为 O(n^2k)，空间复杂度为 O(nk)。