将所有数组元素相除以生成总和不超过 K 的商的最小正整数

这个问题是指给定一个正整数数组和一个正整数 K，我们需要找到一种方式将数组中的元素相除，使得相除的结果的总和不超过 K，然后返回满足这个条件下的最小正整数。

解决方案

我们可以使用二分查找的方法来解决这个问题。首先，我们需要确定二分查找的上下界。上界可以选择数组中的最大值，因为在最坏情况下，我们可以将所有的元素都除以这个最大值。下界为 1，因为最小正整数为 1。

在每一次二分查找中，我们计算当前的中点 mid，并通过遍历数组来计算当前的总和。如果总和小于等于 K，则说明 mid 可能是解，我们将右边界移动到 mid。如果总和大于 K，则说明 mid 不可能是解，我们将左边界移动到 mid + 1。

最终，当左边界和右边界相等时，我们就找到了最小正整数。

算法实现

下面是使用 Python 语言实现的算法代码：

def min_dividend(nums, K):
    left = 1
    right = max(nums)

    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        total = 0

        for num in nums:
            total += num // mid

        if total <= K:
            right = mid
        else:
            left = mid + 1

    return left

复杂度分析

• 时间复杂度：二分查找的时间复杂度为 O(log(max(nums)))，其中 max(nums) 表示数组中的最大值。遍历数组的时间复杂度为 O(n)，其中 n 表示数组的长度。所以总的时间复杂度为 O(n log(max(nums)))。
• 空间复杂度：只需要常数级别的额外空间，所以空间复杂度为 O(1)。

使用示例

nums = [1, 2, 3, 4, 5]
K = 6

min_dividend(nums, K)  # 输出 1

在这个示例中，数组为 [1, 2, 3, 4, 5]，K 为 6。我们可以将所有的元素都除以 1 得到 [1, 2, 3, 4, 5]，它们的总和为 15，大于 K，所以不满足条件。我们将二分查找的结果限制在 1 到 5 之间，通过二分查找，最终得到最小正整数为 1。

总结

通过二分查找的方法，我们可以找到所有数组元素相除以生成总和不超过 K 的商的最小正整数。该算法的时间复杂度为 O(n log(max(nums)))，空间复杂度为 O(1)。