第 12 课 NCERT 解决方案 - 数学第一部分 - 第 5 章连续性和可微性 - 练习 5.4

本节课程涵盖了连续性和可微性的基本概念、定义和性质。本练习中，我们将通过一些实际的问题来理解这些概念。

问题 5.4.1

证明 $f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处连续。

解决方案：

$x^2$ 在 $x = 1$ 处连续，当且仅当 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$。

$$\lim_{x \to 1} x^2 = 1^2 = 1$$

因此，$f(x) = x^2$ 在 $x = 1$ 处连续。

问题 5.4.2

证明 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处不连续。

解决方案：

$f(x) = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 处不连续，当且仅当 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 不存在，或者 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$。

$$\lim_{x \to 0} \sqrt{x} = 0$$

因此，$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 存在，但 $f(0)$ 不存在，因此 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 x = 0 处不连续。

问题 5.4.3

如果 $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, &x \neq 0 \ 0, &x = 0 \end{cases}$，证明 $f(x)$ 不可微。

解决方案：

$f(x)$ 不可微，当且仅当 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，或者 $f'(0)$ 不存在。

我们可以证明 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 不存在。考虑函数 $f(x) = \sin \frac{1}{x}$，当 $x$ 围绕 $0$ 省略时，$|\sin \frac{1}{x}|$ 永远小于等于 $1$，但是 $f(x)$ 没有有限的极限。

因此，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，因此 $f(x)$ 不可微。

问题 5.4.4

如果 $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$，证明 $f(x)$ 可微。

解决方案：

$f(x)$ 可微，当且仅当 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，并且 $f'(0)$ 存在。

首先我们证明 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。我们可以使用夹逼定理来证明这一点。当 $x \neq 0$ 时，我们有 $|f(x)| \leq |x|$。由于 $\lim\limits_{x \to 0} x = 0$，所以 $\lim\limits_{x \to 0} |f(x)| \leq \lim\limits_{x \to 0} |x| = 0$，因此 $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = 0$。因此，$f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

接下来，我们需要求解 $f'(0)$。

$$\begin{aligned} f'(0) &= \lim_{h \to 0} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}\ &= \lim_{h \to 0} \frac{h \sin \frac{1}{h}}{h}\ &= \lim_{h \to 0} \sin \frac{1}{h} \end{aligned}$$

我们无法直接求得 $\lim\limits_{h \to 0} \sin \frac{1}{h}$。但我们可以使用夹逼定理将其转化为另一个已知的极限。

我们有 $-1 \leq \sin \frac{1}{h} \leq 1$，因此

$$\lim_{h \to 0} -1 \leq \lim_{h \to 0} \sin \frac{1}{h} \leq \lim_{h \to 0} 1$$

因此 $\lim\limits_{h \to 0} \sin \frac{1}{h}$ 存在，并且等于 $0$。因此，$f'(0)$ 存在，且 $f'(0) = 0$。

由于 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处连续，并且 $f'(0)$ 存在，因此 $f(x)$ 可微。