NCERT解决方案——数学第一部分

第5章 连续性和可微性

练习 5.6

欢迎使用NCERT解决方案——数学第一部分练习5.6的题解。在本练习中，我们将深入学习连续性和可微性的概念。

【问题1】

如果f(x)是图1中所示的函数，在x = 2处，它是否连续？给出理由。

答：在x = 2处，f(x)不连续。因为左侧极限不等于右侧极限。左侧极限为2，右侧极限为3。

【问题2】

给定f(x)= | x - 1 |，找出f(x)的不连续点并解释为什么它在这些点不连续。

答：f(x)在x = 1不连续。这是因为左侧极限和右侧极限不相同。左侧极限是0，右侧极限是2。

【问题3】

如果g(x)是x²的函数，h(x)是g(x)的函数，那么h(x)是否可导？

答：h(x)在所有的点上都可导。因为g(x)是x²的函数，根据连续性和可微性定理，g(x)在所有点上都可导。因此，h(x)作为g(x)的函数，也在所有点上可导。

【问题4】

如果f(x)是 | x | 的函数，并且在x = 0处不可导，则f(x)在x = -1和x = 1处是否可导？

答：f(x)在x = -1和x = 1处可导。因为|x|在x = -1和x = 1处可导，但在x = 0处不可导。这是因为左侧极限和右侧极限不相同。左侧极限是-1，右侧极限是1。

【问题5】

如果f(x)是不可导的函数，则f(x)是否必须是不连续的？

答：不一定。当左侧极限和右侧极限相同时，即使函数不可导，但也可以连续。

总结

在本篇解决方案中，我们深入了解了连续性和可微性的概念。我们讨论了连续性和可微性的原则，以及如何判断一个函数在某一点是否连续或可导。我们解决了几个例子，以此更好地理解这些概念的应用。