第12类NCERT解决方案-数学第I部分–第5章连续性和可微性–练习5.3

本文是针对NCERT数学第I部分第5章中的练习5.3提供的解决方案。练习5.3主要考察连续性和可微性的概念以及应用。

概述

在本练习中，我们将会解决一些关于连续性和可微性的问题，包括函数的局部连续性、导函数的连续性等。为了更好地理解这些问题，我们将首先复习连续性和可微性的定义以及相关概念。然后我们将逐步解决所有的问题，并给出详细的解释和说明。

连续性和可微性的复习

在继续之前，让我们回顾一下连续性和可微性的定义和相关概念：

连续性

一个函数$f(x)$在$x_0$处连续，当且仅当：

1. $f(x_0)$存在；
2. $\lim\limits_{x\to x_0} f(x)$存在；
3. $\lim\limits_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)$。

这意味着，这个函数$f(x)$在$x_0$处没有间断。

可微性

一个函数$f(x)$在$x_0$处可微，当且仅当：

1. $f(x)$在$x_0$处连续；
2. $\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在。

这个极限值被称为$f(x)$在$x_0$处的导数，记为$f'(x_0)$。

相关概念

如果一个函数在某个范围内处处可微，则称该函数在该范围内可导。如果一个函数在某个范围内处处可导，则称该函数在该范围内光滑。

解决问题

现在，让我们开始解决练习5.3中给出的问题。

问题1

$f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{if } x \leq 1 \ 2-x & \text{if } x>1\end{cases}$。检查$f(x)$是否连续，并在连续时验证$f'(1)$的存在性。

解决方案

首先，我们需要检查$f(x)$是否连续。注意到$f(x)$在$x=1$处有一个转换点，因此我们需要分别考虑$x\leq 1$和$x>1$的情况。

对于$x\leq 1$，$f(x)=x^2$，因此$f(x)$在$x=1$处的极限为$\lim\limits_{x\to 1} f(x) = \lim\limits_{x\to 1} x^2 = 1$。

对于$x>1$，$f(x)=2-x$，因此$f(x)$在$x=1$处的极限为$\lim\limits_{x\to 1} f(x) = \lim\limits_{x\to 1} (2-x) = 1$。

由于$\lim\limits_{x\to 1} f(x)$存在且等于1，因此$f(x)$在$x=1$处连续。

接下来，我们需要验证$f(x)$在$x=1$处的导数是否存在。由于$f(x)$在$x=1$处是连续的，因此只需要计算左导数$f_-'(1)$和右导数$f_+'(1)$是否相等即可。

对于$x\leq 1$，$f(x)=x^2$，因此$f'(x)=2x$，则$f_-'(1)=2$。

对于$x>1$，$f(x)=2-x$，因此$f'(x)=-1$，则$f_+'(1)=-1$。

因此，$f(x)$在$x=1$处不可微。

问题2

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$，检查$f(x)$是否连续，并且在连续时，验证$f'(0)$的存在性。

解决方案

我们需要分别考虑$x>-3$和$x<-3$的情况。

对于$x>-3$，$\lim\limits_{x\to 0} f(x) = \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{x+3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。

对于$x<-3$，$f(x)$并不存在，因此我们只需要考虑$x>-3$的情况。

显然，$f(x)$在$x>-3$处连续。接下来，我们需要验证$f(x)$在$x=0$处是否可微。对于$x>-3$，$f(x)$的导数可以通过求导得到：$f'(x)=-\frac{1}{2(x+3)^{\frac{3}{2}}}$。

因此，$f'(0)=-\frac{1}{2(0+3)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{18\sqrt{3}}$。由于$f(x)$在$x>-3$处连续且$f'(0)$存在，因此，$f(x)$在$x=0$处可微。

问题3

$f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{if } x<0 \ ax+b & \text{if } 0\leq x <1 \ 3x^2 +c & \text{if } x\geq 1\end{cases}$，其中$a,b$和$c$是常数。假设$f(x)$在$x=0$处可微，求出$a,b$和$c$的值。

解决方案

我们需要分别计算$f(x)$在$x=0$处的左、右导数以及$f(x)$在$x=0$处的值。

对于$x<0$，$f(x)$的导数为$f'(x)=2x$，因此左导数$f_-'(0)=0$。

对于$0\leq x<1$，$f(x)$的导数为$f'(x)=a$，因此右导数$f_+'(0)=a$。

对于$x\geq 1$，$f(x)$的导数为$f'(x)=6x$，因此右导数$f_+'(0)=0$。

由于$f(x)$在$x=0$处可微，则左导数、右导数和$f(x)$在$x=0$处的值必须相等。因此，我们有：

$$\begin{aligned} &f_-'(0)=f_+'(0)=f(0) \ \Rightarrow \quad &0=a(0)+b=0+c \ \Rightarrow \quad &b=0, \quad c=0 \end{aligned}$$

因此，$a=f'(0)$，其中$f'(0)$需要满足：

$$\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(0)$$

所以，我们需要计算这个极限是否存在并求出它的值。注意到：

$$\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{x^2}{x}=\lim\limits_{x\to 0^-} x=0$$

$$\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{ax}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+} a=a$$

因此，$a=0$，并且$f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{if } x<0 \ b & \text{if } 0\leq x <1 \ 3x^2 & \text{if } x\geq 1\end{cases}$。此时：

$$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=0^2=0$$

$$\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=b$$

因此，$b=0$，$a=0$，$c=0$，即$f(x)=\begin{cases}x^2 & \text{if } x<0 \ 0 & \text{if } 0\leq x <1 \ 3x^2 & \text{if } x\geq 1\end{cases}$。

结论

在这篇文章中，我们通过回顾连续性和可微性的概念和相关概念，并通过解决练习5.3中的问题来改善我们的理解。这些问题涉及函数的局部连续性和导函数的连续性。我们通过给出具体的解决方法和详细的解释，希望能够帮助读者更好地理解这些概念和方法，以便在实际应用中更好地应用它们。