坐标几何中的中点公式

在几何学中，中点是与两个端点等距的线段的中点。该点将线一分为二。在坐标几何中有一些例子，我们需要知道两个给定点的中点或线段的中点。在笛卡尔平面中，直线的中点的 x 值位于两个端点的 x 值之间，其 y 值位于两个端点的 y 值之间。

对于笛卡尔坐标系中的线段 AB，其中点 A 的 x 轴坐标为 x ₁ ，点 A 的 y 轴坐标为 y ₁ ，类似地，点 B 的 x 轴坐标为 x ₂ ，y-点 B 的轴坐标为 y _2，线的中点将由 (x _m ,y _m ) 给出。

中点 (x _m ,y _m ) 的公式是，

公式推导

令 P(x ₁ ,y ₁ ) 和 Q(x ₂ ,y ₂ ) 为坐标平面中给定直线的两端，R(x,y) 为直线上除以 PQ 比率的点m ₁ :m ₂使得

PR/RQ = m1/m2              ...(1)

画线 PM、QN 和 RL 垂直于 x 轴并通过 R 画一条平行于 x 轴的直线，在 S 处与 MP 相交，在 T 处与 NQ 相交。

因此，从图中我们可以说，

SR = ML = OL - OM = x - x1            ...(2)
RT = LN = ON - Ol = x2 - x            ...(3)
PS = MS - MP = LR - MP = y - y1       ...(4)
TQ = NQ - NT = NQ - LR = y2 - y       ...(5)

现在三角形∆ SPR类似于三角形 ΔTQR ,

所以，

SR/RT = PR/RQ

通过使用等式 2、3 和 1，我们知道，

x - x1 / x2 - x = m1 / m2
m2x - m2x1 = m1x2 - m1x
m1x + m2x = m1x2 + m2x1
(m1 + m2)x = m1x2 + m2x1
x = (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2)

现在三角形∆ SPR类似于三角形∆ TQR，

所以，

PS/TQ = PR/RQ

通过使用等式 4、5 和 1，我们知道，

y - y1 / y2 - y = m1 / m2
m2y - m2y1 = m1y2 - m1y
m1y + m2y = m1y2 + m2y1
(m1 + m2)y = m1y2 + m2y1
y = (m1y2 + m2y1) / (m1 + m2)

因此 R(x,y) 的坐标是，

R(x, y)= (m1x2 + m2x1) / (m1 + m2), (m1y2 + m2y1) / (m1 + m2)

由于我们必须计算中点，因此我们保持 m ₁和 m ₂的值相同，即

对于中点，

m1 = m2 = 1

因此，

x, y = (1.x2 + 1.x1) / (1 + 1), (1.y2 + 1.y1) / (1 + 1)

x, y = (x₂ + x₁) / 2, (y₂ + y₁) / 2

中点公式的示例问题

示例 1：A 点在 (6,8) 且 B 点在 (3,1) 的线段 AB 的中点是多少？

Solution: Let the midpoint be M(x_m,y_m), 

                                  x_m = (x₁ + x₂) / 2

                                  x₁ = 6, x₂ = 3

                                  x_m = (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4.5

                                  y_m = (y₁ + y₂) / 2

                                  y₁ = 8, y₂ = 1

                                  y_m = (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4.5

Hence the midpoint of line AB is (4.5, 4.5).

示例 2：A 点位于 (-6,4) 且 B 点位于 (4,2) 的线段 AB 的中点是多少？

Solution: Let the midpoint be M(x_m,y_m),

                                 x₁ = -6, x₂ = 4, y₁ = 4, y₂ = 2

                                 (x_m, y_m) = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)

                                 (x_m, y_m) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)

                                 (x_m, y_m) = ((-2) / 2, (6) / 2)

                                 (x_m, y_m) = (-1, 3)

Hence the midpoint of line AB is (-1, 3).

示例 3：求 p 的值，使得 (–2, 2.5) 是 (p, 2) 和 (–1, 3) 之间的中点。

Solution: Let the midpoint be M(x_m, y_m) = (-2, 2.5) where,

                                x₁ = -1, x_m = -2

y-coordinate of the end point is already known as 2, hence we need to find only the x-coordinate

                                x_m = (x₁ + x₂) / 2

                                -2 = (-1 + p) / 2

                                -4 = -1 + p

                                p = -3

Hence the other end-point of the line is (-3, 2).