坐标几何

坐标几何或解析几何是几何的分支，其中代数方程式用于表示点，线和曲线。坐标几何是代数和几何的统一，其中代数用于几何关系的研究，而几何图形通过方程表示。最受欢迎的坐标系是直角直角坐标系。点的坐标是为了描述其在空间中的位置而关联的实际变量。在这里，我们认为空间是二维的。让我们来看看以下术语。

• 原点：通过点O(称为原点)，我们截取了两条相互垂直的线XOX’和YOY’，分别称为x和y轴。
• 横坐标和纵坐标：通过有序对实数(x，y)称为P的坐标，完全参照这些轴确定点的位置。 x |和| y |分别是点P与y轴和x轴的距离，x称为P的x坐标或横坐标，y称为点P的y坐标或纵坐标。

设P为平面上的一个点；在平面中绘制两条垂直线X’OX，Y’OY，并分别绘制与OX，OY平行的PM，PN。 X’OX，Y’OY被称为坐标轴。 MP是x坐标，称为横坐标，而NP是y坐标，称为P坐标。

极坐标

设OX为给定线，P为给定平面内的任何点。设0为直线从OX移到位置OP时旋转的角度。然后，如果r是OP的长度，则当r和θ已知时，P的位置就已知。 r称为半径矢量，矢量角，(r，θ)为点P的极坐标，简称为点(r，θ)。 OX称为初始线，O称为极点。

直角坐标与极坐标之间的关系

设P为相对于矩形轴OX，OY的点(x，y)，以及相对于极点O和初始线OX的点(r，θ)。即X轴。我们有x =rcosθ; Y =rsinθ因此tanθ= Y / X和x ² + Y ² = R ^2Х这些关系使我们能够改变从一个坐标系到其它。

两点之间的距离

两点A(x1，y1)和B(x2，y2)之间的距离为

AB = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

给出点P(x，y)距原点O(0，0)的距离

OP = √((x – 0)²+ (y – 0)²), i.e. OP = √(x² + y²)

例子

示例1：找到点P(-4，7)和Q(2，-5)之间的距离?

解决方案：

The given points are P(-4, 7) and Q(2, -5).

Then, (x1 = -4, y1 = 7) and (x2 = 2, y2 = -5). : 

PQ =  √((x2 – x1)² + (y2 – y1)²)

      = √((2 – (-4))² + (-5 – 7)²)

      = √(6² + (-12)²) 

      = √(36 + 144)

      = √180 

      = 6√5 

示例2：找到点P(6，-6)距原点的距离?

解决方案：

Let P(6, -6) be the given point and O(0, 0) be the origin. 

Then, OP = √((6 – 0)² + (-6 – 0)²)

               = √(6² + (-6)²)

               = √72

               = 6√2

截面公式

点P(x，y)的坐标以m：n在内部划分连接A(x1，y1)和B(x2，y2)的线段，其坐标为

x = (mx₂ + nx₁) / (m+n)

y = (my₂+ny₁) / (m+n)

例子

示例1：找到连接点A(-5，4)和B(7，-8)的线段中点的坐标?

解决方案：

Let M(x, y) be the midpoint of AB. Then, 

x = ((-5) + 7)/2 =1 and  y = ((4 + (-8)) = -2

Hence, the required point is M (1, -2).

示例2：找到连接点A(-5，6)和B(4，-3)的线段的三等分点的坐标?

解决方案：

Let P and Q be the points of trisection of AB.

Then, P divides AB in the ratio 1 : 2 

So, the coordinates of P are 

P((1 x 4 + 2 x (-5)/1 + 2, ((1 x (-3) + 2 x 6)/1 + 2) i.e., P(-2, 3). 

Also, Q divides AB in the ratio 2:1.

So, the coordinates of Q are 

Q((2 x 4 + 1 x (-5)/2 + 1, (2x(-3) +1 x 6/1 + 2)) i.e., Q(1, 0)

Q(1, 0).

特林格勒地区

具有顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)和C(x3，y3)的三角形ABC的面积为

area(ABC) = |1/2 {x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3 (y1 – y2)}| 

例子

示例1：查找顶点为A(2，7)，B(3，-1)和C(-5，6)的三角形的面积?

解决方案：

Let A(2, 7), B(3, -1) and C(-5, 6) be the vertices of the given △ABC.

Then,

(x1 = 2, y1 = 7), (x2 = 3, y2 = -1) and (x3 = -5, y3 = 6). 

Area of △ABC = 1/2|{x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)}| 

                       = 1/2 |2(-1 – 6) + 3(6 – 7) – 5(7 +1)|

                       = 1/2| -14 – 3 – 40|

                       = 1/2|-57|

                       = 57/2 

                       = 28.5 sq units.

示例2：找到顶点为A(-4，-2)，B(-3，-5)，C(3，-2)和D(2，3)的四边形ABCD的面积。

解决方案：

Join A and C. Then, area of quad. ABCD = ar(△ABC) + ar(△ACD) 

Area of  △ABC = 1/2|{(-4).(-5 + 2) -3(-2 + 2) + 3(-2 + 5)}|

                        = 21/2 sq units.

Area of  △ACD = 1/2|{ (-4).(-2 – 3) + 3(3 + 2) + 2(-2 + 2}|

                         = 35/2

Area of quad. ABCD = 21/2 + 35/2  sq units = 28 sq units.

三点共线性的条件

设给定的点为A(x1，y1)，B(x2，y2)和C(x3，y3)。那么A，B和C是共线的

⇒ area of ABC = 0

⇒ 1/2.[x1(y2 – y1) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)] = 0

例子

示例1：显示点A(-1，1)，B(5，7)和C(8,10)是共线的。

解决方案：

Let A(-1, 1), B(5, 7) and C(8, 10) be the given points. 

Then, (x1 = -1, y = 1), (x2 = 5, y2 = 7) and (x3 = 8, y3 = 10)

∴  x1(y2 – y3) + x2(y3 – y1) + x3(y1 – y2)

= (-1) (7 – 10) + 5(10 -1) + 8(1 – 7) 

= (3 + 45 – 48)

= 0 

Hence, the given points are collinear. 

示例2：证明点A(a，b + c)，B(b，c + a)和C(c，a + b)是共线的。

解决方案：

Let A(a, b + c), B(b, c + a) and C(c, a + b) be the given points. 

Then, (x1 = a, y1 = b + c); (x2 = b, y2 = c + a); and (x3 = c, y3 = a + b).

∴ a(c + a – a – b) + b(a + b – b – c) + c(b + c – c – a) 

= a(c – b) + b(a – c)+ c(b – a) 

= 0 

Hence, the given points are collinear.