最小生成树的问题解决 (Kruskal 和 Prim)

在图论中，最小生成树是连通加权无向图中权值最小的生成树。Krskal 和 Prim 算法都是解决最小生成树问题的常用算法。接下来我们将介绍这两种算法的详细实现以及其优缺点。

Kruskal 算法

Kruskal 算法是以边为基础的贪心算法，按照边权值从小到大排序，每次选择一条当前未连通的最短边加入最小生成树中，直到当前所有节点都已经连通。这种算法保证了已经选择的边不会组成环，只要无向图连通，最后选出的边一定构成一棵生成树。

实现步骤

1. 对所有边按权值从小到大排序。
2. 从小到大依次考察每条边是否可以加入生成树（是否会形成环）。可以使用并查集来实现。
3. 如果可以加入则将该边加入生成树，直到生成树中所含边数等于节点数减一为止。

代码实现

class Kruskal:
    def __init__(self, graph):
        self.graph = graph
        self.edges = []
        self.parent = []
        
    def find(self, u):
        if self.parent[u] != u:
            self.parent[u] = self.find(self.parent[u])
        return self.parent[u]
        
    def union(self, u, v):
        parent_u, parent_v = self.find(u), self.find(v)
        if parent_u == parent_v: return False
        self.parent[parent_u] = parent_v
        return True
    
    def kruskal(self):
        self.parent = list(range(len(self.graph)))
        for idx, row in enumerate(self.graph):
            for jdx in range(idx+1, len(row)):
                if row[jdx] != 0:
                    self.edges.append((idx, jdx, row[jdx]))
        self.edges.sort(key=lambda x: x[2])
        
        mst, cnt = [], 0
        for edge in self.edges:
            u, v, w = edge
            if self.union(u, v):
                mst.append((u, v, w))
                cnt += 1
                if cnt == len(self.graph) - 1:
                    break
        return mst

算法分析

由于 Kruskal 算法使用并查集来实现环的检测，因此时间复杂度为 $O(ElogE)$。其中 $E$ 表示边的数量。如果优化排序算法的复杂度，可以将时间复杂度进一步优化至 $O(ElogV)$。

算法优缺点

Kruskal 算法最大的优点是实现简单，适用于各种规模的数据集。同时它保证了当前所有的选择都是最优的。但是 Kruskal 算法在实现过程中需要对图进行排序，并且每次都需要执行并查集的操作，因此算法效率较慢。

Prim 算法

Prim 算法是以点为基础的贪心算法，按照节点个数从 1 开始递增，每次将当前距离最小的节点加入最小生成树中，直到所有节点都已加入。这种算法保证了已经选择的点不会组成环，只要无向图连通，最后选出的点一定构成一棵生成树。

实现步骤

1. 随机选取一个节点加入生成树。
2. 找到所有连通该节点的边，将边权值从小到大排序。
3. 选择该集合中最短的一条边加入生成树，同时将与该节点连通的节点加入集合中。
4. 重复步骤 2 和 3 直到所有节点都已加入生成树。

代码实现

class Prim:
    def __init__(self, graph):
        self.graph = graph
        self.edges = []
        self.visited = [False] * len(graph)
        
    def prim(self):
        self.visited[0] = True
        for idx in range(len(self.graph)):
            if self.graph[0][idx] != 0:
                self.edges.append((0, idx, self.graph[0][idx]))
                
        mst, cnt = [], 1
        while cnt < len(self.graph):
            if len(self.edges) == 0: break
            edge = self.edges.pop(0)
            u, v, w = edge
            if self.visited[v]: continue
            mst.append(edge)
            cnt += 1
            self.visited[v] = True
            for idx in range(len(self.graph)):
                if self.graph[v][idx] != 0 and not self.visited[idx]:
                    self.edges.append((v, idx, self.graph[v][idx]))
            self.edges.sort(key=lambda x: x[2])
            
        return mst

算法分析

Prim 算法使用了堆优化，因此时间复杂度为 $O(ElogV)$，其中 $E$ 表示边的数量，$V$ 表示节点个数。当图较为稀疏时，Prim 算法的效率更高。

算法优缺点

与 Kruskal 算法相比，Prim 算法不需要对图进行排序。同时，当图较为稀疏时，Prim 算法的效率更高一些。但是其实现过程比 Kruskal 算法稍微复杂一些。