使用 Prim 算法的最大生成树

介绍

Prim 算法是一种求解最小生成树的常用算法。最大生成树是指在一张有权图中，生成一棵树，使得树上的边权之和最大。使用 Prim 算法可以求解最大生成树。

算法思想

Prim 算法和 Dijkstra 算法基本思路相同，都是每次找到一个离源点最近的点并将其加入生成树中。不同的是，Prim 算法在每次添加点时选择权值最大的边，保证生成树的边权之和最大。

具体操作：从一个节点开始，把该节点加入集合中，然后对于该节点相邻的节点，选择一条权值最大的边加入生成树中。随后依次考虑集合中的每个节点能够到达但不在集合中的节点，选择一条权值最大的边加入生成树中。重复该过程直到所有节点都被加入到生成树中或无法再添加新的边。

代码实现

使用堆进行优化的 Prim 算法的时间复杂度为 $O(E \log V)$，其中 $E$ 表示边数，$V$ 表示节点数。

import heapq


def max_spanning_tree(adjacency_list):
    # 标记是否已经加入生成树
    visited = [False for _ in range(len(adjacency_list))]

    # 从第一个节点开始生成树
    start = 0
    visited[start] = True

    # 将起始节点相邻的边加入堆中
    heap = [(-weight, start, next_node) for next_node, weight in adjacency_list[start]]
    heapq.heapify(heap)

    # 生成树的边集合
    edges = []

    # 不断加入新节点
    while heap:
        # 获取堆中权值最大的边
        weight, src_node, dest_node = heapq.heappop(heap)
        if visited[dest_node]:
            continue

        # 将新节点加入生成树中
        visited[dest_node] = True
        edges.append((src_node, dest_node, -weight))

        # 更新堆中边的权值
        for next_node, weight in adjacency_list[dest_node]:
            if not visited[next_node]:
                heapq.heappush(heap, (-weight, dest_node, next_node))

    # 返回最大生成树
    return edges

总结

Prim 算法是一种求解最小生成树的经典算法，经过简单修改可以求解最大生成树。使用堆进行优化可以将时间复杂度降至 $O(E \log V)$。在实际应用中，Prim 算法可以用于求解网络设计、组网、电路等问题。