为什么 Prim 和 Kruskal 的 MST 算法对有向图失败？

在无向图中，Prim 和 Kruskal 算法都是有效的最小生成树（MST）算法。然而，对于有向图而言，这两种算法会失败，也就是无法正确地计算出最小生成树。

MST 算法概述

在深入探讨为什么 Prim 和 Kruskal 算法在有向图中失败之前，我们需要回顾一下这两种算法是如何在无向图中工作的。一般而言，MST 算法的目标是找到一个包含图中所有顶点的最小连通子图。显然，对于无向图而言，这个最小子图就是一棵树，且树中的每条边都有一个唯一的起点和终点。Prim 和 Kruskal 算法都是贪心算法，它们通过不断选择图中权重最小的边来构建最小生成树。

Prim 算法的基本步骤：

1. 选择一个起始节点并将其放入最小堆中；
2. 从堆中取出权重最小的节点；
3. 将该节点加入 MST 中；
4. 遍历该节点的邻居节点，将它们加入最小堆中；
5. 重复步骤 2 到 4，直到 MST 中包含所有节点。

Kruskal 算法的基本步骤：

1. 将每个节点都作为一棵独立的树；
2. 将所有边按照权重从小到大排序；
3. 依次遍历每条边，如果两个节点不在同一棵树中，那么将它们合并并将该边加入 MST；
4. 重复步骤 3，直到 MST 中包含所有节点。

为什么它们不能用于有向图？

对于有向图而言，Prim 和 Kruskal 算法都不是有效的 MST 算法。原因在于，无向图中的每条边都是双向的，可以在两个方向上遍历。但是，在有向图中，两个顶点之间可能存在多条不同的有向边，且这些有向边的方向不同。

看下面这个例子，其中有向边用箭头表示：

A -> B
A <- C
B -> C
B -> D
C -> D

如果我们使用 Prim 算法计算这个图的 MST，那么可能会出现一些不受欢迎的副作用。具体而言，Prim 算法遍历节点的顺序可能与我们期望的不同，导致算法计算出的 MST 不是我们想要的。同样的，Kruskal 算法也可能会选择包含有向环的边，从而无法构建一棵树。

因此，当我们需要在有向图中计算 MST 时，我们需要使用其他算法，例如 Edmonds 算法、Chu-Liu/Edmonds 算法等。

总结

Prim 和 Kruskal 算法是有效的 MST 算法，但是只能用于无向图。对于有向图而言，这两种算法可能会选择包含有向环的边，从而无法构建一棵树。因此，我们需要使用其他算法来计算有向图的 MST。