在 C++ 中使用 STL 的 Kruskal 的最小生成树
给定一个无向、连通和加权图，使用Kruskal算法找到该图的最小S平移树 (MST)。
输入：作为边数组的图形输出：MST 的边为 6 - 7 2 - 8 5 - 6 0 - 1 2 - 5 2 - 3 0 - 7 3 - 4 MST 的权重为 37注意：有两种可能的 MST ，另一个 MST 包括边缘 1-2 代替 0-7。
我们在下面讨论了 Kruskal 的 MST 实现。
贪心算法 | Set 2（Kruskal 的最小生成树算法）
以下是使用 Kruskal 算法查找 MST 的步骤
- 按权重的非递减顺序对所有边进行排序。
- 选择最小的边。检查它是否与到目前为止形成的生成树形成一个循环。如果没有形成循环，则包括该边。否则，丢弃它。
- 重复步骤#2，直到生成树中有 (V-1) 条边。
以下是对我们使用 STL 实现 Kruskal 算法有用的一些关键点。
- 使用由图中所有边组成的边向量，向量的每个项目将包含 3 个参数：源、目标以及源和目标之间的边的成本。
vector在外部对（即 pair
- 使用内置的 std::sort 以非递减顺序对边进行排序；默认情况下，排序函数按非降序排序。
- 我们使用Union Find Algorithm来检查如果它被添加到当前MST中，当前边缘是否形成一个循环。如果是丢弃它，否则包括它（联合）。
伪代码：
// Initialize result
mst_weight = 0
// Create V single item sets
for each vertex v
parent[v] = v;
rank[v] = 0;
Sort all edges into non decreasing
order by weight w
for each (u, v) taken from the sorted list E
do if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)
print edge(u, v)
mst_weight += weight of edge(u, v)
UNION(u, v)
下面是上述算法的 C++ 实现。
// C++ program for Kruskal's algorithm to find Minimum
// Spanning Tree of a given connected, undirected and
// weighted graph
#include
using namespace std;
// Creating shortcut for an integer pair
typedef pair iPair;
// Structure to represent a graph
struct Graph
{
int V, E;
vector< pair > edges;
// Constructor
Graph(int V, int E)
{
this->V = V;
this->E = E;
}
// Utility function to add an edge
void addEdge(int u, int v, int w)
{
edges.push_back({w, {u, v}});
}
// Function to find MST using Kruskal's
// MST algorithm
int kruskalMST();
};
// To represent Disjoint Sets
struct DisjointSets
{
int *parent, *rnk;
int n;
// Constructor.
DisjointSets(int n)
{
// Allocate memory
this->n = n;
parent = new int[n+1];
rnk = new int[n+1];
// Initially, all vertices are in
// different sets and have rank 0.
for (int i = 0; i <= n; i++)
{
rnk[i] = 0;
//every element is parent of itself
parent[i] = i;
}
}
// Find the parent of a node 'u'
// Path Compression
int find(int u)
{
/* Make the parent of the nodes in the path
from u--> parent[u] point to parent[u] */
if (u != parent[u])
parent[u] = find(parent[u]);
return parent[u];
}
// Union by rank
void merge(int x, int y)
{
x = find(x), y = find(y);
/* Make tree with smaller height
a subtree of the other tree */
if (rnk[x] > rnk[y])
parent[y] = x;
else // If rnk[x] <= rnk[y]
parent[x] = y;
if (rnk[x] == rnk[y])
rnk[y]++;
}
};
/* Functions returns weight of the MST*/
int Graph::kruskalMST()
{
int mst_wt = 0; // Initialize result
// Sort edges in increasing order on basis of cost
sort(edges.begin(), edges.end());
// Create disjoint sets
DisjointSets ds(V);
// Iterate through all sorted edges
vector< pair >::iterator it;
for (it=edges.begin(); it!=edges.end(); it++)
{
int u = it->second.first;
int v = it->second.second;
int set_u = ds.find(u);
int set_v = ds.find(v);
// Check if the selected edge is creating
// a cycle or not (Cycle is created if u
// and v belong to same set)
if (set_u != set_v)
{
// Current edge will be in the MST
// so print it
cout << u << " - " << v << endl;
// Update MST weight
mst_wt += it->first;
// Merge two sets
ds.merge(set_u, set_v);
}
}
return mst_wt;
}
// Driver program to test above functions
int main()
{
/* Let us create above shown weighted
and undirected graph */
int V = 9, E = 14;
Graph g(V, E);
// making above shown graph
g.addEdge(0, 1, 4);
g.addEdge(0, 7, 8);
g.addEdge(1, 2, 8);
g.addEdge(1, 7, 11);
g.addEdge(2, 3, 7);
g.addEdge(2, 8, 2);
g.addEdge(2, 5, 4);
g.addEdge(3, 4, 9);
g.addEdge(3, 5, 14);
g.addEdge(4, 5, 10);
g.addEdge(5, 6, 2);
g.addEdge(6, 7, 1);
g.addEdge(6, 8, 6);
g.addEdge(7, 8, 7);
cout << "Edges of MST are \n";
int mst_wt = g.kruskalMST();
cout << "\nWeight of MST is " << mst_wt;
return 0;
}
输出 ：
Edges of MST are
6 - 7
2 - 8
5 - 6
0 - 1
2 - 5
2 - 3
0 - 7
3 - 4
Weight of MST is 37优化：
上面的代码可以优化为在选定边数变为 V-1 时停止 Kruskal 的主循环。我们知道 MST 有 V-1 条边，选择了 V-1 条边后没有点迭代。我们没有添加此优化以保持代码简单。
参考：
Cormen Leiserson Rivest 和 Stein(CLRS) 的算法介绍 3
时间复杂度和分步说明在之前关于 Kruskal 算法的文章中进行了讨论。